Количество помеченных деревьев — различия между версиями
(→Количество помеченных деревьев.) |
(→Количество помеченных деревьев.) |
||
| Строка 11: | Строка 11: | ||
|statement=Число помеченных деревьев порядка <tex>n</tex> равно <tex>n^{n - 2}</tex>. | |statement=Число помеченных деревьев порядка <tex>n</tex> равно <tex>n^{n - 2}</tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
| − | ''Доказательство 1.'' | + | ''Доказательство 1.'' Так как между помеченными деревьями порядка <tex>n</tex> и последовательностями длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> существует биекция, <tex>|</tex>множество помеченных деревьев<tex>|</tex> = <tex>|</tex>множество последовательностей длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex><tex>|</tex> = <tex>n^{n - 2}</tex>. С помощью [[Коды Прюфера|кодов Прюфера]]. |
<br> | <br> | ||
''Доказательство 2.'' С помощью [[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа |матрицы Кирхгофа]] для полного графа на <tex>n</tex> на вершинах. | ''Доказательство 2.'' С помощью [[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа |матрицы Кирхгофа]] для полного графа на <tex>n</tex> на вершинах. | ||
}} | }} | ||
Версия 22:26, 8 октября 2010
Помеченное дерево.
| Определение: |
| Помеченное дерево порядка n - дерево порядка , вершинам которого взаимно однозначно соответствуют числа от 1 до n. |
Количество помеченных деревьев.
| Теорема (Формула Кэли): |
Число помеченных деревьев порядка равно . |
| Доказательство: |
|
Доказательство 1. Так как между помеченными деревьями порядка и последовательностями длины из чисел от до существует биекция, множество помеченных деревьев = множество последовательностей длины из чисел от до = . С помощью кодов Прюфера.
|
