Количество помеченных деревьев

Помеченное дерево.

Определение:

Помеченное дерево порядка n - дерево порядка [math]n[/math], вершинам которого взаимно однозначно соответствуют числа от 1 до n.

Количество помеченных деревьев.

Теорема (Формула Кэли):

Число помеченных деревьев порядка [math]n[/math] равно [math]n^{n - 2}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство 1. Так как между помеченными деревьями порядка [math]n[/math] и последовательностями длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] существует биекция, то [math]|[/math]множество помеченных деревьев[math]|[/math] = [math]|[/math]множество последовательностей длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math][math]|[/math] = [math]n^{n - 2}[/math]. (Также смотри кодов Прюфера.) Доказательство 2. С помощью матрицы Кирхгофа для полного графа на [math]n[/math] на вершинах.

[math]\triangleleft[/math]