Коды Прюфера

Коды Прюфера.

Кодирование Прюфера переводит помеченные деревья порядка [math]n[/math] в последовательность чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] по алгоритму:

 Пока количество вершин больше одной {
   1. Выбирается лист v с минимальным номером.
   2. В код Прюфера добавляется номер вершины, смежной с v
   3. Вершина v и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.
 }

Полученная последовательность называется кодом Прюфера для заданного дерева.

Лемма:

Номер вершины v встречается в коде Прюфера тогда и только тогда, когда v не является листом или v имеет номер [math]n[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Вершина с номером [math]n[/math] не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число [math]n[/math] встретилось в коде. Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина - лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде. Если вершина является листом с номером меньше [math]n[/math], то она была удалена до того, как был удален ее сосед, следовательно ее номер не встречается в коде. Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер [math]n[/math], встречаются в коде Прюфера, а остальные - нет.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

По любой последовательности длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] можно построить помеченное дерево, для которого эта последовательность является кодом Прюфера.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство проведем по индукции. База. [math]n = 1[/math] - верно. Переход от [math]n[/math] к [math]n + 1[/math]. Пусть у нас есть последовательность: [math]A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].[/math] Выберем минимальное число [math]v[/math] не лежащее в A. По предыдущей лемме [math]v[/math] - вершина, которую мы удалили первой. Соединим [math]v[/math] и [math]a_1[/math] ребром. Выкинем из последовательности [math]A[/math] число [math]a_1[/math]. Перенумеруем вершины, для всех [math]a_i \gt v[/math] заменим [math]a_i[/math] на [math]a_i - 1[/math]. А теперь мы можем применить предположение индукции.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка [math]n[/math] и последовательностями длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждому помеченному дереву приведенный алгоритм сопоставляет последовательность. Каждой последовательности, как следует из предыдущей леммы, соотвествует помеченное дерево.

[math]\triangleleft[/math]

Следствием из этой теоремы является формула Кэли.