Декомпозиция Эдмондса-Галлаи

Определение:

[math]o(G-U)[/math] - количество компонент связности нечетного размера в [math] G[V-U][/math].

Теорема (Татта-Бержа):

дан граф [math]G[/math], размер максимального паросочетания в нем [math]v(G)[/math] равен: [math]v(G) = min(U in V)1/2(|V|-|U|-o(G-U)) [/math]

Определение:

множество U, на котором достигается минимум в формуле Татта-Баржа назовем множеством свидетелей.

Утверждение:

выполняется следующее: все вершины из U покрыты любим максимальным паросочетанием в G если K - множество вершин компоненты G-U, тогда любое максимальное паросочетание в G покрывает как минимум половину вершин в K. В частности, каждая вершина в четной компоненте покрыта любым максимальным паросочетанием.

Утверждение:

если U - не пустое множество свидетелей Татта-Бержа для графа G, тогда в G есть вершины, которые входят в любое максимальное паросочетание.

Определение:

граф G = (V, E) называется фактор-критическим, если в нем нем полного паросочетания, но для каждой вершины v из V граф G-v имеет полное.

Теорема:

граф G факторо-критический тогда и только тогда, когда для каждой вершины v из V существует максимальное паросочетание в G, которое не покрывает вершину v.

Утверждение:

пусть C - цикл нечетной длины в G. Если граф G/С, полученный сжатием C в одну вершину, фактор-критический, то и G - фактор-критический.

Декомпозиция Эдмондса-Галлаи

Теорема:

дан граф G = (V, E). пусть: [math]D(G) = {v из V| существуем максимальное паросочетание, не покрывающее v}[/math] A(G) = N(D(G))\D(G) C(G) = V\( D(G) or A(G) ) тогда: U = A(G) - множество свидетелей Татта-Бержа С(G) - объединение всех четных компонент G-A(G) D(G) - объединение всех нечетных компонент G-A(G) каждая компонента в G-A(G) - фактор-критическая

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

лол.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (следствие из теоремы):

граф G фактор-критический тогда и только тогда, когда U не пусто и U - единственное множество свидетелей Татта-Бержа для G