Числа Эйлера I и II рода

Числа Эйлера I рода

Числа Эйлера I рода (Eulerian numbers) — количество перестановок чисел от 1 до n таких, что в каждой из них существует ровно m подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как [math]\langle{n\atop m}\rangle [/math] или же [math]A(n, m)[/math].

Определение:

Пусть [math]a[/math] и [math]b[/math] - соседние элементы некоторой перестановки порядка [math]n[/math] причем [math]a \gt b[/math]. Тогда пара [math](a, b)[/math] называется подъемом (ascent) данной перестановки.

Вывод рекуррентной формулы

Пусть у нас есть некая перестановка [math] \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} [/math]. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим [math]n[/math] перестановок вида [math]\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}[/math]. Далее рассмотрим два случая:

1. Количество подъемов в перестановке [math]\theta[/math] равно количеству подъемов в [math]\pi[/math]. Этого можно добиться, вставляя элемент [math]n[/math] на самое первое место в [math]\theta[/math] (всего [math]\langle{n\atop m}\rangle [/math] возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще [math]m \times [/math][math] \langle{n\atop m}\rangle [/math] раз).

2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента [math]n[/math] во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить [math](n - m)[/math][math]\langle{n\atop m}\rangle[/math].

Тогда рекуррентная формула имеет вид:

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle[/math]

Примем также следующее начальное значение:

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0][/math],

Запись [выражение] означает нотацию Айверсона.

Пример

Рассмотрим все перестановки порядка [math]4[/math], в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):

[math] \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11: [124]3, [13][24], [134]2, [14][23], 2[134], [23][14], [23][41], [24][13], 3[124], [34][12], 4[123], [/math]

Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка [math]3[/math] с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:

[math] \left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1: [123] =\gt (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3 [/math]

Далее рассмотрим все перестановки порядка [math]3[/math] с одним подъемом, причем операцией вставки [math]4[/math] мы будем увеличивать количество перестановок на 1:

[math] \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:[/math]

[math][13]2 =\gt [13(4)]2, [13][2(4)];[/math]

[math]2[13] =\gt [2(4)][13], 2[13(4)];[/math]

[math][23]1 =\gt [23(4)]1, [23][1(4)];[/math]

[math]3[12] =\gt [3(4)][12], 3[12(4)];[/math]

Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:

[math] \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;[/math]

Треугольник чисел Эйлера I рода

На значениях [math]n = m[/math] чисел Эйлера I рода можно построить массив [math]n \times m[/math], нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.

	m = 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
n = 0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	1	4	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	1	11	11	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	1	26	66	26	1	0	0	0	0	0	0	0	0
6	1	57	302	302	57	1	0	0	0	0	0	0	0
7	1	120	1191	2416	1191	120	1	0	0	0	0	0	0
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1	0	0	0	0	0
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1	0	0	0	0
10	1	1013	47840	455192	1310354	1310354	455192	47840	1013	1	0	0	0
11	1	2036	152637	2203488	9738114	15724248	9738114	2203488	152637	2036	1	0	0
12	1	4083	478271	10187685	66318474	162512286	162512286	66318474	10187685	478271	4083	1	0

Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные справа, смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):

Числа Эйлера I рода (m < 90)

Биномиальные коээфициенты (m < 60)

Явная формула

Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.

Следует заметить, что первый элемент каждой [math]m[/math]-той строки равен 1, а второй --- [math]2^{m} - (m + 1)[/math]. Третий выражается как

[math]3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};[/math]

и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:

[math]\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}[/math]

[math]\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}[/math]

[math]\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}[/math]

Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:

[math]\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}[/math]

Свойства

1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, [/math]

2. Сумма всех значений каждого ряда равна [math] n! [/math]:

[math]\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,[/math]

3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:

[math]\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.[/math]

4. Число [math]\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math] выражает:

4.1 Объем части [math]n[/math]-мерного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями [math]x_1+x_2+\dots+x_n=m[/math] и [math]x_1+x_2+\dots+x_n=m-1[/math];

Случай 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2

Случай 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6

4.2 Вероятность того, что сумма [math]n[/math] независимых равномерно распределённых в отрезке [math][0,1][/math] переменных лежит между [math]m-1[/math] и [math]m[/math].

Числа Эйлера II рода

Числа Эйлера II рода (Eulerian numbers of the second kind) — количество перестановок мультимножества от [math]1[/math] до [math]n[/math] вида [math]\{1,1,2,2..n,n\}[/math], обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями [math]z[/math] для любого [math]z[/math], больше, чем [math]z[/math]", таких, что в каждой из них существует ровно [math]m[/math] подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как [math] \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle [/math]

Пример

Рассмотрим [math] n = 3[/math]. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:

[math] 332211,\; [/math]

[math] 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, [/math]

[math]1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. [/math]

Лемма:

Количество перестановок мультимножества [math]\{1,1,2,2..n,n\}[/math] со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями [math]z[/math] для любого [math]z[/math], больше, чем [math]z[/math]" равно двойному факториалу [math](2n-1)!![/math].

Рекуррентная формула

Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:

[math] \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, [/math]

С начальным условием для [math]n = 0[/math]:

[math] \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. [/math]

Треугольник чисел Эйлера II рода

Значения чисел Эйлера II рода для [math]0 \le n \le m \le 9[/math] представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.

	m = 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n = 0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	2	0	0	0	0	0	0	0	0
3	1	8	6	0	0	0	0	0	0	0
4	1	22	58	24	0	0	0	0	0	0
5	1	52	328	444	120	0	0	0	0	0
6	1	114	1452	4400	3708	720	0	0	0	0
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040	0	0	0
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320	0	0
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880	0

Ссылки

• Eulerian number — Wikipedia
• Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki
• Eulerian number — Math Pages
• Числа Эйлера — Wolfram Mathworld
• A Refinement of the Eulerian numbers