Комбинаторные объекты

Определение:

Комбинаторные объекты (combinatorial objects) — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Определение:

Если два комбинаторных объекта, различающихся только порядком элементов, считаются различными, то они называются упорядоченными.

Примеры комбинаторных объектов

• Битовые вектора — последовательность нулей и единиц заданной длины.
• Перестановки — это упорядоченный набор чисел [math]1, 2,\ldots, n,[/math] обычно трактуемый как биекция на множестве [math]\{ 1, 2,\ldots, n \}[/math], которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора.
• Сочетания из n по k — это набор k элементов, выбранных из данных n элементов.
• Размещение из n по k — это упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
• Разбиение числа на неупорядоченные слагаемые — это представление числа n в виде суммы слагаемых.
• Разбиение множества [math]X[/math] на подмножества называется семейство непустых множеств [math]\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}[/math], где [math]A[/math] — некоторое множество индексов, если:

1. [math]U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset[/math] для любых [math]\alpha, \beta \in A[/math], таких что [math]\alpha \not= \beta[/math];
2. [math]X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}[/math].

Подсчет числа комбинаторных объектов с помощью рекуррентных формул

Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов (одного, двух) решение задачи легко находится.

Количество разбиений числа на неупорядоченные слагаемые

Пусть [math]n[/math] - число, которое мы разбиваем, а [math]t[/math] - максимальное слагаемое в разбиении, тогда количество разбиений числа на слагаемые удовлетворяет рекуррентному соотношению:

[math]A(0, t) = 0[/math], где [math]t \gt 0[/math],

[math]A(1, 1) = 1[/math],

[math]A(n, t) = A(n, t - 1) + A(n - t, t)[/math]

Количество неупорядоченных разбиений [math]n[/math]-элементного множества на [math]k[/math] непустых подмножеств.

• Применение чисел Стирлинга второго порядка

Источники

• Википедия - Комбинаторика
• Wikipedia - Combinatorics