Бинарное отношение — различия между версиями
(→Примеры отношений) |
Kamensky (обсуждение | вклад) (Убран пункт "Определение", добавлены англоязычные термины, добавлены внутренние ссылки) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition = | |definition = | ||
| − | '''Бинарным отношением''' <tex>R</tex> из множества <tex>A</tex> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается: | + | '''Бинарным отношением''' (англ. ''binary relation'') <tex>R</tex> из множества <tex>A</tex> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается: |
<tex>R \subset A \times B</tex>. | <tex>R \subset A \times B</tex>. | ||
}} | }} | ||
| Строка 15: | Строка 14: | ||
}} | }} | ||
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества. | Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
== Свойства отношений == | == Свойства отношений == | ||
Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства: | Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства: | ||
| − | * [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <tex>\mathcal {8} x \in A \ (xRx)</tex>; | + | * [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\mathcal {8} x \in A \ (xRx)</tex>; |
| − | * [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <tex>\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)</tex>; | + | * [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)</tex>; |
| − | * [[Симметричное отношение|Симметричность]]: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)</tex>; | + | * [[Симметричное отношение|Симметричность]] (англ. ''symmetry''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)</tex>; |
| − | * [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]]: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>; | + | * [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>; |
| − | * [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>; | + | * [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>; |
* Связность: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)</tex>; | * Связность: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)</tex>; | ||
| − | * [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]]: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>. | + | * [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]] (англ. ''assymetric relation''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>. |
== Виды отношений == | == Виды отношений == | ||
Выделяются следующие виды отношений: | Выделяются следующие виды отношений: | ||
* квазипорядка — рефлексивное транзитивное; | * квазипорядка — рефлексивное транзитивное; | ||
| − | * эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное; | + | * [[Отношение эквивалентности|эквивалентности]] — рефлексивное симметричное транзитивное; |
| − | * частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное; | + | * [[Отношение порядка|частичного порядка]] — рефлексивное антисимметричное транзитивное; |
| − | * строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное; | + | * [[Отношение порядка|строгого порядка]] — антирефлексивное антисимметричное транзитивное; |
| − | * линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное; | + | * [[Отношение порядка|линейного порядка]] — полное антисимметричное транзитивное; |
| − | * доминирования — антирефлексивное антисимметричное. | + | * [[Отношение порядка|доминирования]] — антирефлексивное антисимметричное. |
== Примеры отношений == | == Примеры отношений == | ||
Версия 22:25, 9 января 2014
| Определение: |
| Бинарным отношением (англ. binary relation) из множества в множество называется подмножество прямого произведения и и обозначается: . |
Часто используют инфиксную форму записи:
.
Если отношение определено на множестве , то возможно следующее определение:
| Определение: |
| Бинарным (или двуместным) отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества. |
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
Свойства отношений
Для определены свойства:
- Рефлексивность (англ. reflexivity): ;
- Антирефлексивность (англ. irreflexivity): ;
- Симметричность (англ. symmetry): ;
- Антисимметричность (англ. antisymmetry): ;
- Транзитивность (англ. transitivity): ;
- Связность: ;
- Ассимметричность (англ. assymetric relation): .
Виды отношений
Выделяются следующие виды отношений:
- квазипорядка — рефлексивное транзитивное;
- эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное;
- частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
- строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
- линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное;
- доминирования — антирефлексивное антисимметричное.
Примеры отношений
- Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
- Примеры нерефлексивных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
- Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
- Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
- Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
- Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
