Rope

Rope (Веревка) — структура данных для хранения строки, представляющая из себя двоичное сбалансированное дерево и позволяющая делать операции вставки, удаления и конкатенации с логарифмической асимптотикой.

Заведем двоичное дерево поиска. В каждом листе будем хранить последовательную часть строки. Изначально дерево состоит из одной вершины — сама строка. В вершинах дерева будем хранить строку, если это лист, а также вес — суммарную длину всех строк в поддереве, или, если это лист, длину строки, которая в нем хранится.

Merge

Когда приходит запрос на конкатенацию с другой строкой мы объединяем оба дерева, создав новый корень и подвесив к нему обе строки. Пример результата конкатенации двух строк:

Псевдокод

Node merge(Node T1, Node T2):
    return Node(T1, T2, T1.w + T2.w)

Время работы

Асимптотика выполнения операции конкатенации двух строк очевидно [math]\mathrm{O(1)}[/math].

Получение символа по индексу

Для того что реализовать операцию получения символа по индексу будем в вершинах дерева хранить суммарную длину всех строк в его поддереве, или, если это лист, длину строки которая в нем хранится. Тогда, если нам пришел запрос — получить символ с индексом [math]i[/math], то будем спускаться по дереву из корня следующим образом:

• Текущая вершина — не лист, тогда возможно два варианта:
  • Вес левого поддерева больше либо равен [math]i[/math], тогда идем в левое поддерево.
  • Иначе идем в правое поддерево и ищем там [math]i - w[/math] символ, где [math]w[/math] вес левого поддерева.
• Текущая вершина — лист, тогда в этом листе хранится ответ, необходимо взять символ с соответствующим номером у строки которая там хранится.

Псевдокод

char get(int i,Node node):
    if (not isNil(node):
        if (node.left >= i):
            return get(i, node.left)
        else:
            return get(i - node.left.w, node.right)
    else:
        return node.s[i]

Время работы

Асимптотика выполнения одного такого запроса очевидно [math]\mathrm{O(h)}[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Split

Чтобы разбить строку на две по некоторому индексу [math]\mathrm{i}[/math] необходимо спускаясь по дереву (аналогично операции [math]\mathrm{get}[/math]), каждую вершину на пути поделить на две, каждая из которых будет соответствовать одно из половинок строк, при этом необходимо после деления пересчитать вес этих вершин.

Пускай дано дерево:

Тогда результатом выполнения операции [math]\mathrm{split}[/math] по индексу 16 будет:

Заметим, что появляются лишние вершины, у которых есть только один потомок. От них можно легко избавится, просто заменив их на этого потомка. Тогда результатом той же операции [math]\mathrm{split}[/math] будет:

Псевдокод

(Node, Node) split(Node node, int i):
    Node t1, t2
    t1.w = i
    t2.w = node.w - i
    Pair res
    if (not isNil(node)):
        if (node.left.w >= i):
            res = split(node.left, i)
            t1 = res.first
            t2.left = res.second
            t2.right = node.right
        else:
            res = split(node.right, i - node.left.w)     
            t1.left = node.left
            t1.right = res.first
            t2 = res.second
    else:
        t1.s = node.s.substr(0, i)
        t2.s = node.s.substr(i, s.len)
    return pair(t1, t2)

Время работы

Нетрудно заметить что асимптотическая сложность выполнения данной операции [math]\mathrm{O(h)}[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Операции удаления и вставки

Нетрудно понять, что имея операция [math]\mathrm{merge}[/math] и [math]\mathrm{split}[/math], можно легко через них выразить операции [math]\mathrm{delete}[/math] и [math]\mathrm{insert}[/math] по аналогии с другими деревьями поиска.

Операция [math]\mathrm{delete}[/math] удаляет из строки подстроку начиная с индекса [math]beginIndex[/math] и заканчивая (не включая) индексом [math]endIndex[/math].

Псевдокод

Node delete(Node node, int beginIndex, int endIndex):
    Node t1, t2, t3
    (t1, t2) = split(node, beginIndex)
    t3 = split(t2, endIndex).second
    return merge(t1, t3)

Операция [math]\mathrm{insert}[/math] вставляет данную строку [math]s[/math] в исходную начиная с позиции [math]insertIndex[/math].

Псевдокод

Node insert(Node node, int insertIndex, string s):
    Node t1, t2
    (t1, t2) = split(node, insertIndex)
    Node t3 = node(s)
    t1 = merge(t1, t3)
    return merge(t1, t2)

Время работы

Так как данные операции используют только [math]\mathrm{split}[/math] и [math]\mathrm{merge}[/math] то асимптотика времени их работы [math]\mathrm{O(h)}[/math], где [math]h[/math] - высота дерева.

Балансировка

Для того чтобы дерево не превращалось в бамбук:

Предлагается хранить его как АВЛ-дерево и делать соответствующие балансировки. Тогда, так как высота АВЛ-дерева [math]h = \log{n}[/math], то асимптотика операций [math] \mathrm{get, split, delete, insert, merge}[/math] будет равна [math]\mathrm{O(\log{n})}[/math], где [math]n[/math] — количество сконкатенированных строк.

Оптимизации

• Для уменьшения объема памяти занимаемой деревом и уменьшения высоты дерево, предлагается при конкатенации с маленькой строкой делать конкатенацию классическим способом.

• Кэширование. Так как зачастую нужен последовательный доступ к индексам (например [math]i[/math] и [math]i + 1[/math]), то можно запоминать лист, а также его границы, в который мы пришли после очередного запроса [math]get[/math] и на следующем запросе сначала искать в сохраненном листе.

Источники информации

• Википедия — Rope
• Ropes — быстрые строки
• Ropes: an Alternative to Strings

См. также

• АВЛ-дерево
• Splay-дерево
• Декартово дерево по неявному ключу