Изменения
→Критерий монотонности функции
В списках - незапиленные темы. Выбираем вопрос, пилим, убираем из списка.
[https://docs.google.com/file/d/0BxonEwMjsbpWbEx2QzFNUW9TVS1pdTVCSm8wWXU1Zw/edit Виноградов]
== Основные вопросы ==
=== Список ===
Жирным отмечены вопросы, по которым написана только формулировка. В «доказательстве» написана страница Виноградова, откуда это взято. Кому не лень, запиливайте
* Дифференцирование разложений Тейлора
* ''Иррациональность числа e''
* Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции* '''Теорема о свойствах неопределенного интеграла'''
* Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
* ''Интегрируемость модуля интегрируемой функции''
* ''Интегрируемость произведения''
* Ослабленный критерий Лебега. Следствие
* ''Иррациональность числа пи''
* '''Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей'''* '''Теорема о формуле трапеций'''
* Формула Эйлера - Маклорена
* Формула Стирлинга
* '''Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям'''* '''Признак сравнения сходимости несобственного интеграла'''* '''Теорема об абсолютной сходимости'''* Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость* Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности* '''Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.'''* '''Площадь подграфика.'''* Площадь криволинейного сектора в полярных координатах* Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой* Изопериметрическое неравенство* Усиленная теорема о плотности* Вычисление длины пути. Длина графика* '''Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши'''* '''Признак сравнения сходимости положительных рядов'''* '''Признак Коши'''* '''Признак Даламбера'''* '''Признак Раабе'''* '''Теорема об абсолютно сходящихся рядах'''* '''Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками'''* '''Теорема о произведении рядов'''* Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций* Теорема об предельном переходе под знаком интеграла* Теорема о предельном переходе под знаком производной
=== Правило Лопиталя ===
<tex>g'(t) \ne 0</tex> для любого <tex>t \in (a, b)</tex>,
<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>
и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.
Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.
|proof=1. Пусть <tex>a \in \mathbb{R}</tex>. Доопределим функции в точке ''a'' нулём: <tex>f(a) = g(a) = 0</tex>. Тогда доопределенные функции ''f'' и ''g'' будут непрерывны на ''[a, b)''. Возьмем последовательность <tex>\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a</tex>, и докажем, что <tex>{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A</tex>. Функции ''f'' и ''g'' удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке <tex>[a, x_n]</tex>. Поэтому для любого <tex>n \in \mathbb{N}</tex> найдется такая точка <tex>c_n \in (a, x_n)</tex>, что
<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.
По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой последовательности|теореме о сжатой последовательности]] <tex>c_n \to a</tex>. По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Односторонние пределы|определению правостороннего предела]] на языке последовательностей <tex>{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A</tex>, а тогда в силу произвольности <tex> \{x_n\}</tex> и <tex>{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A</tex>.
=== Замечание о представимости функции рядом Тейлора ===
{{Теорема
|about= достаточное условие представимости функции рядом Тейлора
|statement=
Для представимости функции <tex>f(x)</tex> ее рядом Тейлора в инетрвале <tex>|x-a|<R</tex>, достаточно выполнения следующего равенства:
<tex>\underset{n\to\infty}{\lim}R_n(x)=0</tex>
при <tex>x\in(a-R,a+R)</tex>.
|proof=
Выберем произвольно и зафиксируем <tex>x\in(a-R,a+R)</tex>. Из <tex>f(x)=T_n(x)+R_n(x)</tex> следует, что
<tex>\underset{n\to\infty}{\lim}T_n(x)=\underset{n\to\infty}{\lim}(f(x)-R_n(x))=f(x)-\underset{n\to\infty}{\lim}R_n(x)=f(x)</tex>,
т.е. <tex>f(x)</tex> равна пределу частичных сумм ряда Тейлора, и поэтому функция <tex>f(x)</tex> является суммой ее ряда Тейлора.
}}
=== Дифференцирование разложений Тейлора ===
Ну приблизительно:
Типа если мы продифференцируем формулу Тейлора для какой-то функции, то получим формулу Тейлора для её производной
=== Иррациональность числа е ===
|proof=1. Необходимость. Пусть ''f'' возрастает. Возьмем <tex>x \in (a, b)</tex>. Тогда <tex>f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle</tex> , поэтому
<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.
2. Достаточность. Пусть <tex>f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle</tex> . Возьмем <tex>x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 < x_2</tex>, и докажем, что <tex>f(x_1) \le f(x_2)</tex>. По теореме Лагранжа <tex>\exists c \in (x_1, x_2)</tex>:
=== Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции ===
{{Теорема
|id=теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции
|statement=
Если функция выпукла на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, то она непрерывна на <tex>(a, b)</tex>.
Замечание: на концах промежутка выпуклая функция может испытывать разрыв.
|proof=
Непрерывность следует из существования конечных односторонних производных слева и справа в каждой точке <tex>x \in (a, b)</tex>.
}}
=== Описание выпуклости с помощью касательных ===
|statement=
1. Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на <tex>\langle a,b\rangle</tex> и дифференцируема на <tex>(a,b)</tex>. Тогда <tex>f</tex> (строго) выпукла вниз на <tex>\langle a,b\rangle</tex> в том и только том случае когда <tex>f'</tex> (строго) возрастает на <tex>(a,b)</tex>.
<br>
2. Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на <tex>\langle a,b\rangle</tex> и дважды дифференцируема на <tex>(a,b)</tex>. Тогда <tex>f</tex> выпукла вниз на <tex>\langle a,b\rangle</tex> в том и только том случае, когда <tex>f''(x)\ge0\ \forall x\in(a,b)</tex>.
|proof=
|proof=При <tex>p=1</tex> неравенство Минковского сводится к неравенству треугольника для модуля. Пусть <tex>p>1,\ q={p\over p-1}</tex>. Обозначим <tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^p</tex>. Применим неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера:
<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.</tex>
Если <tex>C=0</tex>, то неравенство Минковского очевидно, а если <tex>C>0</tex>, то, сокращая на <tex>C^{1/q}</tex>, получаем требуемое.
=== Теорема о свойствах неопределенного интеграла ===
{{Теорема|about=О свойствах неопределённого интеграла|statement=Пусть функции <tex> f, g: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex> имеют первообразные, <tex> \alpha \in \mathbb{R} </tex>. Тогда 1. Функция <tex> f + g </tex> имеет первообразную и <tex> \int (f + g) = \int f + \int g </tex>; 2. Функция <tex> \alpha f </tex> имеет первообразную и при <tex> \alpha \neq 0 </tex> <tex> \int \alpha f = \alpha \int f </tex>.|proof=Виноградов, том 1, стр. 254}}
=== Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие ===
=== Предел римановых сумм ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Число <tex> I </tex> называют '''пределом интегральных сумм''' при ранге дробления, стремящемся к нулю, если для любого положительного числа <tex> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex> \delta </tex>, что для любого оснащения дробления <tex> ( \tau, \xi ) </tex>, ранг которого меньше <tex> \delta </tex>, интегральная сумма отличается от числа <tex> I </tex> меньше чем на <tex> \varepsilon </tex>.
}}
=== Линейность интеграла ===
=== Ослабленный критерий Лебега. Следствие ===
Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке , если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной). Ослабленный критерий - это, видимо, тогда, когда множество точек, где ф-ия разрывна, просто конечно.
// Скорее всего, еще все разрывы 1 рода
Примерное доказательство, если там действительно конечное множество точек разрыва:
Пусть есть m точек разрыва. Тогда они входят не более, чем в 2m отрезков дробления. Пусть X — множество точек разрыва. Тогда <tex>S_{\tau} - s_{\tau}</tex> можно представить в виде <tex>\overset{n-1}{\underset{k=0, [x_k, x_k+1]\cap X = \emptyset}{\sum}}{\omega}_k(f)\Delta x_k + \overset{n-1}{\underset{k=0, [x_k, x_k+1]\cap X \neq \emptyset}{\sum}}{\omega}_k(f)\Delta x_k</tex>. На всех отрезках, участвующих в первом слагаемом, функция непрерывна, поэтому оно, очевидно, стремится к нулю при <tex>\max{\Delta{x_k} \to 0}</tex>. Для второго обозначим <tex>d = \underset{[x_k, x_k+1]\cap X \neq \emptyset}{\max}{\omega}_k</tex>. Тогда оно меньше или равно <tex>2md{\underset{k\in [0, n - 1]}{\max}}\Delta x_k</tex>, что никак не мешает всей сумме стремиться к нулю.
=== Теорема о среднем. Следствия ===
}}
=== Интегральность Иррациональность числа пи ===
=== Формула Валлиса ===
|about=Формула Валлиса
|statement=
<tex>\pi=~\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.</tex>
|proof=
<tex>\forall x\in(0,\frac{\pi}{2})</tex> выполняется неравенство <tex>0<\sin x<1</tex>, поэтому <tex>\forall n\in\mathbb{N}</tex>
=== Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей ===
{{Теорема
|about=Неравенство Чебышева для функций
|statement=
Пусть <tex> f </tex> возрастает, а <tex> g </tex> убывает на <tex> [a, b] </tex>. Тогда
<tex> \frac{1}{b - a} \int_a^b fg \leqslant \left ( \frac{1}{b - a} \int_a^b f \right ) \cdot \left ( \frac{1}{b - a} \int_a^b g \right ) </tex>.
|proof=
Виноградов, том 2, стр. 47
}}
{{Теорема
|about=Неравенство Чебышева для сумм
|statement=
Пусть <tex> n \in \mathbb{N}, \ a, b \in \mathbb{R}^n, \ a_1 \leqslant ... \leqslant a_n, \ b_1 \geqslant ... \geqslant b_n </tex>. Тогда
<tex> \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k b_k \leqslant \left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k \right ) \cdot \left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_k \right ) </tex>.
|proof=
Виноградов, том 2, стр. 47
}}
=== Неравенство Гельдера и Минковского ===
=== Теорема о формуле трапеций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\int^b_a f(x)\,dx = h \left( \frac{f_0 + f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i \right) + E_n(f),</tex>
<tex>E_n(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} (b - a) h^2. </tex>
<tex>h = {{b - a}\over{n}}</tex>
|proof=
[https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Exgsdvq2DPYJ:www.math.ucsd.edu/~ebender/20B/77_Trap.pdf+&hl=ru&gl=ru&pid=bl&srcid=ADGEEShgpZb2dv_URiFSawnk8Ru9UUddhv3vPsklB6Bbp8G7-47mPhitvNVFlNDunRSBtyoHZ6bGo9Op3_9cWchVBY7bX2NTjym626dfYIAPdrkKPGXyPNSIAqLN8i7i_JkttgJeRy5g&sig=AHIEtbTytYcX2Mhs9sje3LX89PC1Cxtc4g Линк(англ.)]
}}
=== Формула Эйлера - Маклорена ===
=== Формула Стирлинга ===
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 Формула на вики]
В кратце - формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции.
=== Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям ===
{{Теорема
|about=Аддитивность несобственного интеграла
|statement=
Если интеграл <tex> \int_a^b f </tex> сходится, то для любой точки <tex> c \in (a, b) </tex> интеграл <tex> \int_c^b f </tex> тоже сходится, и <tex> \int_a^b f = \int_a^c f \int_c^b f</tex>. Обратно, если при некотором <tex> c \in (a, b) </tex> интеграл <tex> \int_c^b f </tex> сходится, то сходится и интеграл <tex> \int_a^b f </tex>.
|proof=
Виноградов, том 2, стр. 51
}}
{{Теорема
|about=Линейность несобственного интеграла
|statement=
Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> сходятся, <tex> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>, то интеграл <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) </tex> сходится и <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g </tex>.
|proof=
Виноградов, том 2, стр. 52
}}
{{Теорема
|about=Монотонность несобственного интеграла
|statement=
Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> существуют в <tex> \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex> f \leqslant g </tex> на <tex> [a, b) </tex>, то <tex> \int_a^b f \leqslant \int_a^b g </tex>.
|proof=
Виноградов, том 2, стр. 52
}}
{{Теорема
|about=Интегрирование по частям в несобственном интеграле
|statement=
Пусть <tex> f, g </tex> дифференцируемы на <tex> [a, b), \ f', g' \in R_{loc} [a, b) </tex>. Тогда <tex> \int_a^b f g' = fg |_a^b - \int_a^b f' g </tex>.
|proof=
Виноградов, том 2, стр. 53
}}
=== Признак сравнения сходимости несобственного интеграла ===
{{Теорема
|about=Признак сравнения сходимости несобственных интегралов
|statement=
Пусть <tex> f, g \in R_loc [a, b), \ f, g \geqslant 0, \ f(x) = O(g(x)) </tex> при <tex> x \to b- </tex>.
2. Если интеграл <tex> \int_a^b f </tex> расходится, то и интеграл <tex> \int_a^b g </tex> расходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 56}} == Список =Теорема об абсолютной сходимости ===???{{Теорема|statement=Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 60}} === Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость ===Виноградов т 2 стр 65 === Признаки Дирихле и Абеля ==={{Теорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов|statement=Пусть <tex>f\in C[a,b),\ g\in C^1[a,b),\ g</tex> монотонна. '''1. Признак Дирихле.''' Если функция <tex>F(A)=\int_a^Af</tex> ограничена, а <tex>g(x)\underset{x\to b-}{\to}0</tex>, то интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится. '''2. Признак Абеля.''' Если интеграл <tex>\int_a^bf</tex> сходится, а <tex>g</tex> ограничена, то интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится.|proof=1. Проинтегрируем по частям: <tex>\int_a^bfg=\int_a^bF'g=Fg|_a^b-\int_a^bFg'=-\int_a^bFg'.</tex> Двойная подстановка обнуляется, поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла <tex>\int_a^bFg'</tex>. Докажем, что последний сходится абсолютно, по признаку сравнения. Пусть <tex>K</tex> таково, что <tex>|F(x)|\le K \forall x\ge a</tex>. Поскольку <tex>g</tex> монотонна, <tex>g'</tex> не меняет знака на <tex>[a,b)</tex>. Следовательно,
2. Так как <tex>g</tex> монотонна и ограничена, существует конечный предел <tex>\underset{x\to b-}{\lim}g(x)=== Ряды Тейлора основных элементарных функций ===\alpha</tex>. Функции <tex>f</tex> и <tex>g-\alpha</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле, поэтому интеграл <tex>\int_a^bf(g-\alpha)</tex> сходится, а тогда и интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится как сумма двух сходящихся:
<tex>\int_a^bfg=== Локальный экстремум ===\int_a^bf(g-\alpha)+\alpha\int_a^bf.</tex>}}
=== Точка возрастания Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности === === Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность. ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть Если <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)P </tex>. Если и <tex>\exists \deltaP_1 </tex>0:\ \forall x\in(x_0-\delta— квадрируемые фигуры,x_0)\ f(x)<tex> P_1 \le f(x_0)subset P </tex> и , то <tex>\forall x\inS(x_0,x_0+\deltaP_1)\ fleqslant S(x)\ge f(x_0P)</tex>.|proof=Виноградов, то том 2, стр. 68}} {{Теорема|statement=Если квадрируемые фигуры <tex> P_1 </tex> и <tex>x_0P_2 </tex> называется '''точкой возрастания''' функции пересекаются по множеству нулевой площади (в частности, по отрезку), то <tex>fS(P_1 \cup P_2) = S(P_1) + S(P_2) </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 68
}}
=== Стационарная точка Площадь подграфика. ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть Площадь подграфика функции <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>. Если равна <tex>f'S(x_0Q_f)=0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''стационарной точкой''' функции <tex>\int_a^b f</tex>. Если <tex>f'(x_0)|proof=0</tex> или <tex>f</tex> не дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>Виноградов, том 2, то <tex>x_0</tex> называется '''критической точкой''' функции <tex>f</tex>стр.69-70
}}
=== Выпуклая функция Площадь криволинейного сектора в полярных координатах ==={{Определение|id=определение выпуклости|definition=Функция <tex>f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}</tex> называется:
=== Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка ==={{Теорема|statement=Если выполняются противоположные неравенстваряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то <tex>\forall m\in\mathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> тоже сходится и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k.</tex> Обратно, если <tex>\exists m\in\mathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то функция сходится и ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>.|proof=<tex>\forall n>m\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{n}{\sum}}a_k.</tex>f При <tex>n\to\infty</tex> называется соответственно '''выпуклой вверх''' предел обеих частей равенства существует или '''строго выпуклой вверх''' на нет одновременно, то есть сходимость рядов <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> и <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> равносильна. Равенство в условии получается переходом к пределу.}}{{Теорема|statement=Если ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}0</tex>. Другими словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.|proof=<tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=0.</tex>}}{{Теорема|statement=Если ряды <tex>\langle aunderset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>, <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> сходятся, <tex>\alpha,\beta\in\mathbb{R}</tex>,bто ряд <tex>\rangleunderset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)</tex>сходится и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k.</tex>|proof=Для доказательства надо перейти к пределу в равенстве для частичных сумм
}}
{{Теорема|statement=Если <tex>\{z_k\}</tex> - последовательность комплексных чисел, <tex>x_k=\Re z_k,\ y_k=\Im z_k</tex>, то сходимость ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k</tex> равносильна одновременной сходимости рядов <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k</tex> и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k</tex>. При этом <tex>\underset{k= Выпуклое множество в R^m 1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k+i\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k</tex>.}}{{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Если ряды <tex>\underset{k=Множество (на прямой1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k, на плоскости\ \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> с вещественными числами имеют суммы в <tex>\overline{\mathbb{R}}, \ a_k\le b_k \forall k\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex>.|proof=Для доказательства надо перейти к пределу в трехмерном пространстве) называется '''выпуклым'''неравенстве для частичных сумм.}} === Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши ==={{Теорема|about=Необходимое условие сходимости ряда|statement=Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезокряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> сходится, то <tex> a_n \underset{n \to \infty}{\to} 0 </tex>.|proof=Виноградов, том 2, их соединяющийстр.104
}}
}}
=== Признак сравнения сходимости положительных рядов ==={{Теорема|about=Признак сравнения сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex>Q_f=a_k, b_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex>, <tex> a_k = O(x,yb_k)</tex> при <tex> k \into \infty </tex>. 1. Если ряд <tex> \mathbbsum_{Rk = 1}^2:x{\in[ainfty} b_k </tex> сходится,b],0то и ряд <tex> \le y\le f(x)sum_{k = 1}^{\infty}a_k </tex>сходится.
}}
=== Опорная прямая Признак Коши ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение опорной прямойРадикальный признак Коши сходимости положительных рядов|definitionstatement=Пусть <tex>f:a_k \langle a,bgeqslant 0 </tex> при всех <tex> k \rangle\toin \mathbb{RN},\ x_0\in\langle a,b\rangle</tex>. Прямая, задаваемая уравнением <tex>y \mathcal{K} = \ell(x)underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} = \sqrt[n]{a_n} </tex>, называется '''опорной''' для функции . 1. Если <tex>f\mathcal{K} > 1 </tex> в точке , то ряд <tex>x_0\sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex>, еслирасходится.
2. Если <tex>\forall x\in \langle amathcal{K} < 1 </tex>,bто ряд <tex> \rangle \ f(x_0)sum_{k =1}^{\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)infty} a_k </tex>сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр.110}}
1. Если <tex>\forall x\in \langle amathcal{D} > 1 </tex>,b\rangle\backslashто ряд <tex> \sum_{k = 1}^{x_0\infty} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)>\ell(x)a_k </tex>,расходится.
}}
=== Первообразная Интегральный признак Коши ==={{ОпределениеТеорема|idabout =определение первообразнойИнтергральный признак Коши|definitionstatement =Пусть <tex>f</tex> монотонна на <tex>[1, F:+\infty)</tex>. Тогда ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex> и интеграл <tex>\underset{1}{\overset{+\infty}{\langle aint}}f</tex> сходятся или расходятся одновременно.|proof =Для определенности предположим, что <tex>f</tex> убывает. Если <tex>f(x_0)<0</tex> при некотором <tex>x_0</tex>,bто в силу убывания <tex>\rangleunderset{x\to+\infty}{\lim}f(x)\le f(x_0)<0</tex>, а тогда и ряд, и интеграл расходятся к <tex>-\infty</tex> по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что <tex>f\ge0</tex>. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат <tex>[0,+\infty]</tex>. Поскольку <tex>f</tex> убывает, <tex>\forall k\in\mathbb{RN}f(k+1)\le\int_k^{k+1}f\le f(k)</tex>. Функция Возьмём <tex>Fn\in\mathbb{N}</tex> называется '''первообразной''' функции и пронумеруем эти неравенства по <tex>k</tex>от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>: <tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(k+1)\le\int_1^{n+1}f\le \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(k)</tex> на . Сделав в левой части замену индекса и устремив <tex>n</tex> к <tex>\langle ainfty</tex>,bполучим неравенство <tex>\rangleunderset{k=2}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)\le\int_1^{+\infty}f\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex>, если
}}
=== Таблица первообразных Признак Раабе ===1. {{Теорема|about=Признак Раабе|statement=Если <tex> a_n > 0 </tex> и <tex>\int0dxunderset{n \to \infty}{\lim} n \left ( \frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1 \right ) =Cp </tex>, то
<tex>0\tau = \{x_kle(-1)^n(S-S_n)\}^n_le b_{k=0n+1}:\ a=x_0<x_1<...<x_n=b</tex>.
=== Признаки Дирихле и Абеля для рядов ==={{Теорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов|statement='''1. Признак Дирихле.''' Если посл-ть <tex>A_n=\lambda sum_{k= 1}^n a_k</tex> ограничена, а <tex>b_n\lambda_to0</tex>, то ряд <tex>\tau=\undersetsum_{0\le k\le n-=1}{max}\Delta x_k^n a_kb_k</tex>сходится.
<tex>\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k= Дробление параллелепипеда ===1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>
Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть <tex>K</tex> таково, что <tex>\forall k |A_k|\le K</tex>. Поскольку <tex>M_k=\underset{xb_k\in[x)k}</tex> монотонна,x_все разности <tex>b_k-b_{k+1}]</tex> одного знака. Следовательно, <tex>\sum_{k=1}^\infty |A_k(b_{\supk+1}f(x-b_k),|\ m_k=le K\undersetsum_{xk=1}^\in[x_k,x_infty |b_k-b_{k+1}]|=K\left|\sum_{k=1}^\infty(b_k-b_{\infk+1}f(x),\ kright|=K|b_1-\in[0:underset{n-1]\to\infty}{\lim}b_n|=K|b_1|.</tex>.
2. Так как <tex>\{b_k\}</tex> монотонна и ограничена, <tex>S=S_\tau(f)=exists \underset{k=0n\to\infty}{\oversetlim}b_n=\alpha</tex>. Посл-ти <tex>\{n-1a_k\}, \{b_k-\alpha\sum}}M_k\Delta x_k</tex> и удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд <tex>s\sum_{k=s_1}^\tauinfty a_k(fb_k-\alpha)=</tex> сходится, а тогда и ряд <tex>\undersetsum_{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}m_k^\Delta x_kinfty a_kb_k</tex>сходится как сумма двух сходящихся:
}}
=== Верхний интеграл Дарбу Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками ===
{{Определение
|iddefinition=определение интеграла Дарбу|definitionПусть дан ряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex> \{ n_j \} _{j = 0}^{\infty}, \ n_0 =Пусть 0 </tex>. Положим <tex>f:[aA_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j,b]\toj \in \mathbb{RZ}_{+}</tex>. ВеличиныТогда говорят, что ряд <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} </tex> получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).}}
{{Теорема|about=О группировке слагаемых ряда|statement=1. Если <tex>I\sum_{k = 1}^*{\infty} a_k =S </tex> ( <tex> S \undersetin \overline{\taumathbb{R}} \cup \{\infinfty \} </tex> или <tex> \mathbb{C}S_\taucup \{ \infty \} </tex>), то и <tex>I_*=\undersetsum_{\tauj = 0}^{\supinfty}s_\tauA_j = S </tex>.
}}
=== Риманова сумма Теорема о перестановке слагаемых ряда ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение сумм РиманаПерестановка членов абсолютно сходящегося ряда|definitionstatement=Пусть ряд <tex>f\sum_{k=1}^\infty a_k</tex> абсолютно сходится к сумме <tex>S, \varphi:[a\mathbb{N}\to\mathbb{N}</tex> — биекция. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> абсолютно сходится к <tex>S</tex>.|proof=1. Сначала рассмотрим случай,b]когда ряд положительный: <tex>\toforall k\in\mathbb{RN} a_k\ge0</tex>. Обозначим<tex>S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n a_{\varphi(k)}</tex>. Суммы
<tex>\sigmaforall n T_n\le S_m\le S,</tex> где <tex>m=max\sigma_{\tauvarphi(f1),...\xivarphi(n)=\underset}</tex>. Следовательно, ряд <tex>\sum_{k=01}{^\overset{n-1}infty a_{\sum}}fvarphi(\xi_kk)}</tex> сходится, и его сумма <tex>T\Delta x_kle S</tex>.
<tex>\omegasum_{k=1}^\infty a_{\varphi(fk)_D}=\undersetsum_{k=1}^\infty (a_{x,y\in Dvarphi(k)})_+-\sum_{k=1}^\sup}infty(fa_{\varphi(ck)})_-f=\sum{k=1}^\infty(ya_k)_+-\sum{k=1}^\infty(a_k)_-=\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex>
}}
{{Теорема|about=Перестановка членов условно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\sum_{k= Множество меры 0 ===1}^\infty a_k</tex> с вещественными членами сходится условно. Тогда <tex>\forall S\in\overline{\mathbb{ОпределениеR}} \exists</tex> перестановка, после которой ряд будет иметь сумму <tex>S</tex>. <tex>\exists</tex> перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.|definitionproof=ГоворятДокажем теорему, когда <tex>S\in[0, что множество +\infty)</tex>. Пусть <tex>E\subset{b_p\},\mathbb{Rc_q\}</tex> имеет '''нулевую меру'''— подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; <tex>b_p=a_{n_p}, если c_q=a_{m_q}</tex>. Оба ряда <tex>\forallsum{p=1}^\infty b_p, \sum_{q=1}^\varepsiloninfty c_q</tex>расходятся. Положим <tex>p_0=q_0=0</tex> множество . Обозначим через <tex>Ep_1</tex> можно заключить в не более чем счетное объединение интерваловнаименьшее натуральное число, суммарная длина которых меньше для которого <tex>\varepsilonsum_{p=1}^{p_1} b_p>S\ge\sum{p=1}^{p_1-1} b_p</tex>. Затем обозначим через <tex>q_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S-\sum_{p=1}^{p_1}b_p</tex>, то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S\le\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_1, q_1</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.
Затем обозначим через <tex>q_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\Phi(x)sum_{q=1}^{q_s}c_q<S-\int_asum_{p=1}^xf{p_s}b_p</tex>,то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s}c_q< S\le\ xsum_{p=1}^{p_s}b_p+\in Esum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_s, q_s</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.
}}
=== Кусочно-непрерывная функция Теорема о произведении рядов ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Функция Умножение рядов|statement=Если ряды <tex>f:[a,b]\tosum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и <tex> \mathbbsum_{j = 1}^{R\infty}b_j </tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на абсолютно сходятся к суммам <tex> A </tex> и <tex> B </tex>[a,b]то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к <tex> AB </tex>.|proof=Виноградов, если множество ее точек разрыва пусто или конечнотом 2, и все имеющиеся разрывы - первого родастр.131
}}
=== Почти первообразная Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций === === Теорема об предельном переходе под знаком интеграла === === Теорема о предельном переходе под знаком производной ===
==Определения = Несобственный интеграл ==={{Определение|definition=Пусть <tex>-\infty<a<b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)</tex>. Символ <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называется '''несобственным интегралом'''. Интегралы <tex>\int_a^Af</tex> при <tex>A\in[a,b)<Участник:Yulya3102/tex> называются '''частными''' или '''частичными'''. Если <tex>\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af<Матан/tex> в <tex>\overline{\mathbb{R}}</tex>, равный <tex>I</tex>, то символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> приписывают значение <tex>I</tex>. В противном случае символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> не приписывают никакого значения. Если <tex>\mathbb{R}</tex>, то говорят, что несобственный интеграл '''сходится'''; в противном случае говорят, что он '''расходится'''.}}Определения]]