Изменения

* Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции* '''Теорема о свойствах неопределенного интеграла'''

* '''Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей'''* '''Теорема о формуле трапеций'''

* '''Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям'''* '''Признак сравнения сходимости несобственного интеграла'''* '''Теорема об абсолютной сходимости'''

* '''Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.'''* '''Площадь подграфика. '''

* Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка* '''Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши'''* '''Признак сравнения сходимости положительных рядов'''* '''Признак Коши'''* '''Признак Даламбера'''* '''Признак Раабе'''* '''Теорема об абсолютно сходящихся рядах'''* '''Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками'''* '''Теорема о произведении рядов'''* Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций* Теорема об предельном переходе под знаком интеграла* Теорема о предельном переходе под знаком производной

<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>

и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.

Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.

<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.

<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.

<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.</tex>

{{Теорема|about=О свойствах неопределённого интеграла|statement=Пусть функции <tex> f, g: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex> имеют первообразные, <tex> \alpha \in \mathbb{R} </tex>. Тогда 1. Функция <tex> f + g </tex> имеет первообразную и <tex> \int (f + g) = \int f + \int g </tex>; 2. Функция <tex> \alpha f </tex> имеет первообразную и при <tex> \alpha \neq 0 </tex> <tex> \int \alpha f = \alpha \int f </tex>.|proof=Виноградов, том 1, стр. 254}}

=== Интегральность Иррациональность числа пи ===

<tex>\pi=~\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.</tex>

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Вики]В кратце - формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу. 

Обратно, если <tex>\exists m\in\mathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=== Необходимое условие сходимостиm+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, критерий Больцано--Коши === === Признак сравнения сходимости положительных рядов === === Признак Коши ==то сходится и ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>. === Признак Даламбера ==|proof= == Определения и факты == ==<tex>\forall n>m\ \underset{k= Список 1}{\overset{n}{\sum}}a_k =\underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{n}{\sum}}a_k.</tex>

* Ряды Тейлора основных элементарных функций* Интеграл функции по параллелепипеду* Почти первообразная* Абсолютно сходящийся интеграл* Аддитивная функция промежутка* Плотность аддитивной функции промежутка* Площадь* Длина пути* Вектор скорости* Сумма ряда* Сходящийся ряд, расходящийся ряд* Остаток сходящегося ряда === Ряды Тейлора основных элементарных функций === === Локальный экстремум ==={{Определение|definition= При <mathtex>x_0n\to\infty</mathtex> называется '''точкой локального максимума''' функции <math>fпредел обеих частей равенства существует или нет одновременно,то есть сходимость рядов </math> если существует проколотая окрестность <mathtex>\dotunderset{Uk=1}(x_0)</math> такая, что: <math>{\forall xoverset{\in infty}{\dot{Usum}}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);</math><math>x_0</math> называется '''точкой локального минимума''' функции <math>f,a_k</mathtex> если существует проколотая окрестность и <mathtex>\dotunderset{Uk=m+1}(x_0)</math> такая, что: <math>{\forall x overset{\in infty}{\dot{Usum}}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).a_k</mathtex>Если неравенства выше строгие, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственноравносильна. Равенство в условии получается переходом к пределу.

 === Точка возрастания функции ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть Если ряд <tex>f:\langle a,bunderset{k=1}{\rangleoverset{\toinfty}{\mathbb{Rsum}},\ x_0\in(a,b)a_k</tex>. Если сходится, то <tex>\exists underset{k=m+1}{\delta>0:overset{\ infty}{\forall xsum}}a_k\in(x_0-underset{m\delta,x_0)to\ f(x)infty}{\le f(x_0)to}0</tex> и . Другими словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.|proof=<tex>\forall xunderset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\in(x_0,x_0+underset{k=1}{\delta)overset{\ f(x)infty}{\ge f(x_0)sum}}a_k=0.</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''точкой возрастания''' функции <tex>f</tex>.

<tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k= Стационарная точка ===1}{\overset{n}{Определение|definition=Пусть <tex>f:\langle a,bsum}}a_k+\ranglebeta\tounderset{k=1}{\mathbboverset{Rn},{\ x_0\in(a,b)</tex>. Если <tex>f'(x_0)=0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''стационарной точкой''' функции <tex>f</tex>sum}}b_k. Если <tex>f'(x_0)=0</tex> или <tex>f</tex> не дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''критической точкой''' функции <tex>f</tex>.

 === Выпуклая функция ==={{ОпределениеТеорема|idstatement=определение выпуклости|definition=Функция Если <tex>f: \langle a,b\rangle \to {z_k\mathbb{R}</tex> называется: '''выпуклой вниз''' на - последовательность комплексных чисел, <tex>x_k=\langle aRe z_k,b\rangley_k=\Im z_k</tex>, если то сходимость ряда <tex>\forall x_1,x_2underset{k=1}{\inoverset{\langle a,binfty}{\rangle, \ t\in(0,1)sum}}z_k</tex> выполняется неравенство равносильна одновременной сходимости рядов <tex>f(tx_1+(\underset{k=1-t)x_2)}{\overset{\infty}{\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)sum}}x_k</tex>; '''строго выпуклой вниз''' на и <tex>\langle a,bunderset{k=1}{\overset{\infty}{\ranglesum}}y_k</tex>, если . При этом <tex>\forall x_1,x_2underset{k=1}{\inoverset{\langle a,binfty}{\rangle sum}}z_k=\ (x_1underset{k=1}{\ne x_2), overset{\ tinfty}{\in(0,1)</tex> выполняется неравенство <tex>f(tx_1sum}}x_k+(i\underset{k=1-t)x_2) < tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>. Если выполняются противоположные неравенства, то функция <tex>f</tex> называется соответственно '''выпуклой вверх''' или '''строго выпуклой вверх''' на <tex>}{\overset{\langle a,binfty}{\ranglesum}}y_k</tex>. Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто '''выпуклыми''', а те, что были названы выпуклыми вверх, - '''вогнутыми'''.

{{Теорема|statement=Если ряды <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k,\ \underset{k= Выпуклое множество 1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> с вещественными числами имеют суммы в <tex>\overline{\mathbb{R^m }},\ a_k\le b_k \forall k\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\le \underset{k==1}{\overset{\infty}{Определение\sum}}b_k</tex>.|definitionproof=Множество (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве) называется '''выпуклым''', если вместе Для доказательства надо перейти к пределу в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющийнеравенстве для частичных сумм.

=== Надграфик и подграфик ======= Надграфик =Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Необходимое условие сходимости рядаПусть |statement=Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: если ряд <tex>f:\langle a,b\rangle\tosum_{k = 1}^{\mathbb{Rinfty}a_k </tex>. Множество сходится, то <tex>a_n \underset{(x,y)n \into \mathbbinfty}{R}^2:x\in\langle a,b\rangle, y\ge f(x)\to}0 </tex> называется '''надграфиком''' функции <tex>f</tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 104

{{Теорема|about=Критерий Больцано-Коши сходимости рядов|statement=Сходимость ряда <tex>Q_f=\sum_{(x,y)\in\mathbb{Rk = 1}^2:x\in[a,b],0\le y\le f(x){\infty}a_k </tex>равносильна условию

называется '''подграфиком''' функции <tex>f\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N \ \forall p \in \mathbb{N} \left | \sum_{k = n + 1}^{n + p} a_k \right | < \varepsilon </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 104

=== Опорная прямая Признак сравнения сходимости положительных рядов ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение опорной прямойПризнак сравнения сходимости положительных рядов|definitionstatement=Пусть <tex>f:\langle aa_k,bb_k \ranglegeqslant 0 </tex> при всех <tex> k \toin \mathbb{RN},\ x_0\in\langle a,b\rangle</tex>. Прямая, задаваемая уравнением <tex>y a_k = \ellO(xb_k)</tex>, называется '''опорной''' для функции при <tex>fk \to \infty </tex> в точке <tex>x_0</tex>, если.

1. Если ряд <tex>\forall xsum_{k = 1}^{\in \langle ainfty} b_k </tex> сходится,b\rangle то и ряд <tex> \ f(x_0)sum_{k =1}^{\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)infty} a_k </tex>сходится.

2. Если жеряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> расходится, то и ряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} b_k </tex> расходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 108-109}}

=== Признак Коши ==={{Теорема|about=Радикальный признак Коши сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex>a_k \forall xgeqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \langle amathbb{N} </tex>,b<tex> \ranglemathcal{K} = \backslashunderset{n \to \infty}{x_0\overline{\lim}} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)>\ell(x)sqrt[n]{a_n} </tex>,.

то прямая называется '''строго опорной''' для функции 1. Если <tex>f\mathcal{K} > 1 </tex> в точке , то ряд <tex>x_0\sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex>расходится.}}

=== Первообразная ==={{Определение|id=определение первообразной|definition=Пусть 2. Если <tex>f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbbmathcal{RK}</tex>. Функция <tex>F1 </tex> называется '''первообразной''' функции <tex>f</tex> на , то ряд <tex>\langle a,bsum_{k = 1}^{\rangleinfty} a_k </tex>, еслисходится.|proof=<tex>\forall x\in\langle aВиноградов, том 2,b\rangle\ F'(x)=f(x)</tex>стр.110

=== Таблица первообразных Признак Даламбера ===1. {{Теорема|about=Признак Даламбера сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex> и существует предел <tex>\int0dxmathcal{D} =C\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{a_{n + 1}}{a_n} \in \left [ 0, + \infty \right ] </tex>.

21. Если <tex>\int x^mathcal{D} > 1 </tex>, то ряд <tex> \alpha dxsum_{k ={x1}^{\alpha+1}\over\alpha+1infty}+C,\ \alpha\ne-1a_k </tex>расходится.

32. Если <tex>\int mathcal{dxD} < 1 </tex>, то ряд <tex> \over xsum_{k = 1}=ln^{\vert x\vert+Cinfty} a_k </tex>сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 111}}

4=== Интегральный признак Коши ==={{Теорема|about = Интергральный признак Коши|statement = Пусть <tex>f</tex> монотонна на <tex>[1, +\infty)</tex>. Тогда ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex> и интеграл <tex>\underset{1}{\overset{+\infty}{\int a^x dx}}f</tex> сходятся или расходятся одновременно.|proof =Для определенности предположим, что <tex>f</tex> убывает. Если <tex>f(x_0)<0</tex> при некотором <tex>x_0</tex>, то в силу убывания <tex>\underset{a^x\over to+\infty}{\ln alim}f(x)\le f(x_0)<0</tex>, а тогда и ряд, и интеграл расходятся к <tex>-\infty</tex> по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что <tex>f\ge0</tex>. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат <tex>[0,+C\infty]</tex>.

5. Поскольку <tex>f</tex> убывает, <tex>\int forall k\in\mathbb{N} f(k+1)\sin x dx=-le\cos xint_k^{k+C1}f\le f(k)</tex>.

6. Возьмём <tex>n\int in\cos x dx=\sin x+Cmathbb{N}</tex> и пронумеруем эти неравенства по <tex>k</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>:

7. <tex>\int underset{k=1}{\overset{n}{dx\over sum}}f(k+1)\cos le\int_1^2 x{n+1}f\le \underset{k=1}{\tan x+Coverset{n}{\sum}}f(k)</tex>.

8. Сделав в левой части замену индекса и устремив <tex>n</tex> к <tex>\int {dx\over \sin ^2x}=-\cot x+Cinfty</tex>, получим неравенство

9. <tex>\intunderset{k=2}{dx\overoverset{\sqrtinfty}{1-x^2\sum}}=f(k)\le\arcsin xint_1^{+C\infty}f\le \underset{k=-1}{\arccos x+Coverset{\infty}{\sum}}f(k)</tex>,

10откуда следует, что сумма и интеграл конечны или нет одновременно. <tex>\int{dx\over 1+x^2}}=\arctan x+C</tex>

11. === Признак Раабе ==={{Теорема|about=Признак Раабе|statement=Если <tex> a_n > 0 </tex> и <tex>\intunderset{dxn \overto \sqrtinfty}{x^2\pm1}lim}=n \lnleft ( \vert xfrac{a_n}{a_{n +\sqrt{x^2\pm11}}- 1 \vert+Cright ) = p </tex>, то

121. при <tex>\int{dx\over1-x^2}={1\over2}\ln\left\vert{p > 1+x\over1-x}\right\vert+C</tex>ряд сходится;

=== Дробление отрезка ==={{Определение|id=определение дробления|definition=Пусть 2. при <tex>[a,b]p < 1 </tex> - невырожденный отрезокряд расходится. Набор точек|proof=???}}

<tex>\tau = \== Теорема об абсолютно сходящихся рядах ===???{x_k\}^n_{kТеорема|statement=0}:\ aЕсли ряд сходится абсолютно, то он сходится.|proof=x_0<x_1<Виноградов, том 2, стр...<x_n=b</tex>120}}

называется '''дроблением''' отрезка === Признак Лейбница. Следствие. ==={{Теорема|about=Признак Лейбница сходимости рядов|statement=Пусть посл-ть <tex>[a\{b_n\}</tex> монотонна,b]<tex>b_n\to0</tex>. Отрезки Тогда ряд <tex>[x_k,x_\sum_{k+=1}^\ infty (-1)^{k\in[0:n-1])}b_k</tex> называют '''отрезками дробления'''сходится.|proof=Для определенности предположим, через что <tex>\Delta x_k{b_n\}</tex> обозначается длина убывает, и поэтому <tex>kb_n \ge 0</tex>. Рассмотрим посл-го отрезка дроблениять <tex>\{S_{2m}\}</tex>. ВеличинаОна возрастает, поскольку

<tex>\lambda S_{2m}-S_{2(m-1)}= \lambda_\tau=\undersetb_{0\le k\le n2m-1}-b_{max2m}\Delta x_kge0</tex>,

называется '''рангом''' или '''мелкостью''' дробления <tex>\tau</tex>. Набор точек <tex>\xi=\{\xi_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>, таких что <tex>\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]\ \forall k\in[0:n-1]</tex>и ограничена сверху, называется '''оснащением''' дробленият. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара <tex>(\tau, \xi)</tex>, называется '''оснащенным дроблением'''к.}}

=== Дробление параллелепипеда ==={{Определение|definition=Пусть параллелепипед задан двумя точками <tex>a,b\in\mathbbS_{R2m}^m</tex>=b_1+(-b_2+b_3)+. '''Дроблением параллелепипеда''' называется множество дроблений <tex>\lambda_1,...,+(-b_{2m-2}+b_{2m-1})-b_{2m}\lambda_m</tex>, где <tex>\lambda_i</tex> - дробление отрезка <tex>[a_i, b_i]le b_1</tex>.}}

=== Что значит, что одно дробление мельче другого ===//для отрезкаПоэтому <tex>\{S_{Определение|definition=Дробление 2m}\}</tex> сходится к некоторому пределу <tex>aS</tex> мельче дробления . Но тогда и <tex>bS_{2m+1} = S_{2m}+ b_{2m+1}\to S</tex>, если набор точек дробления поскольку <tex>ab_{2m+1}\to 0</tex> содержится в наборе этих точек для . По [[#Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка|лемме о подпоследовательностях]] <tex>bS_n\to S</tex>.

Т.к. <tex>M_kS_{2m}=\underset{x\in[x(b_1-b_2)k,x_+ ... + (b_{k+2m-1}]}-b_{\sup2m}f(x),\ m_k=\undersetge0</tex> и <tex>S_{x\in[x_k,x_{k+1}]2m}{\inf}f(x)le b_1</tex>,\ k\inпо [[0Участник:n-1Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве|теореме о предельном переходе в неравенстве]]<tex>0 \le S \le b_1</tex>.

называются '''верхней Остаток лейбницевского ряда не превосходит своего первого члена по абсолютной величине и нижней интегральными суммами''' или '''суммами Дарбу'совпадает с ним по знаку:'' функции <tex>f</tex>, отвечающими дроблению <tex>\tau</tex>.}}

=== Верхний интеграл Дарбу ==={{Определение|id=определение интеграла Дарбу|definition=Пусть <tex>f:[a,b]0\tole(-1)^n(S-S_n)\mathbble b_{Rn+1}</tex>. Величины

называются === Признаки Дирихле и Абеля для рядов ==={{Теорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов|statement='''верхним и нижним интегралами Дарбу1. Признак Дирихле.''' функции Если посл-ть <tex>A_n=\sum_{k=1}^n a_k</tex> ограничена, а <tex>b_n\to0</tex>, то ряд <tex>f\sum_{k=1}^n a_kb_k</tex>сходится.}}

=== Интегрируемая по Риману функция ==={{Определение|id=определение интегрируемой по Риману функции|definition=Пусть '''2. Признак Абеля.''' Если ряд <tex>f:[a,b]\to\mathbbsum_{Rk=1}^n a_k</tex>. Если существует предел интегральных сумм сходится, а последовательность <tex>\underset{b_k\lambda\to0}{\lim}\sigma</tex>, равный числу <tex>I</tex>ограничена, то функция ряд <tex>f\sum_{k=1}^n a_kb_k</tex> называется '''интегрируемой по Риману''' на <tex>сходится.|proof=1. Применим [[a,b#Преобразование Абеля|преобразование Абеля]]</tex>, а число положив <tex>IA_0=0</tex> - '''интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана)''' от функции <tex>f</tex> по отрезку <tex>[a,b]</tex> и обозначается <tex>\int^b_af</tex>.}}:

<tex>\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k= Интеграл функции по параллелепипеду ===1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>

=== Риманова сумма ===Из того, что <tex>\{{Определение|id=определение сумм Римана|definition=Пусть A_n\}</tex>f:[aограничена,b]а <tex>\to{b_n\mathbb{R}</tex> бесконечно мала, следует, что <tex>A_nb_n\to0</tex>. СуммыПоэтому сходимость исходного ряда равносильна сходимости ряда

<tex>\sigma=\sigma_\tau(f,\xi)=\undersetsum_{k=01}{^\oversetinfty A_k(b_k-b_{n-k+1}{\sum}}f(\xi_k)\Delta x_k.</tex>

называются '''интегральными суммами''' или '''суммами Римана''' функции Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть <tex>fK</tex>таково, отвечающими оснащенному дроблению что <tex>(\tau,forall k |A_k|\xi)le K</tex>.Поскольку <tex>\{b_k\}</tex> монотонна, все разности <tex>b_k-b_{k+1}</tex> одного знака. Следовательно, <tex>\sum_{k=1}^\infty |A_k(b_{k+1}-b_k)|\le K\sum_{k=1}^\infty |b_k-b_{k+1}|=K\left|\sum_{k=1}^\infty(b_k-b_{k+1})\right|=K|b_1-\underset{n\to\infty}{\lim}b_n|=K|b_1|.</tex>

=== Колебание функции на множестве ==={{Определение|id=определение колебания функции на множестве|definition=Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex>В предпоследнем равенстве мы вычислили телескопическую сумму. Величина

2. Так как <tex>\omega(f)_D{b_k\}</tex> монотонна и ограничена, <tex>\exists \underset{n\to\infty}{\lim}b_n=\undersetalpha</tex>. Посл-ти <tex>\{xa_k\},y\in D{b_k-\alpha\}</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд <tex>\sum_{k=1}^\sup}(finfty a_k(x)b_k-f(y)\alpha)</tex>сходится, а тогда и ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</tex> сходится как сумма двух сходящихся:

называется '''колебанием''' функции <tex>f\sum_{k=1}^\infty a_kb_k=\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha) + \alpha\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex> на множестве <tex>D</tex>.

=== Множество объема 0 Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками ===

Множество Пусть дан ряд <tex>A\subset\mathbbsum_{Rk = 1}^n{\infty} a_k </tex> имеет объём 0, если и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex>\forall{ n_j \varepsilon>} _{j = 0}^{\ infty}, \existsn_0 = 0 </tex> покрытие множества . Положим <tex>AA_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \in \mathbb{Z}_{+} </tex> брусами . Тогда говорят, что ряд <tex>B_1,...,B_k:\undersetsum_{ij =1}{\overset{k0}^{\sum}infty} V(B_i)<\varepsilon</tex>получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).

{{Теорема|about=О группировке слагаемых ряда|statement=1. Если <tex> \sum_{k = Множество меры 0 1}^{\infty} a_k =S </tex> ( <tex> S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} </tex> или <tex> \mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> ), то и <tex> \sum_{j =0}^{\infty} A_j =S </tex>. 2. Если <tex> \sum_{j = 1}^{Определение|definition\infty} A_j =Говорят, что множество S </tex> ( <tex>ES \subsetin \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \}</tex> имеет '''нулевую меру'''или <tex> \mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> ), <tex> a_n \to 0 </tex>, если и существует такое <tex>L \forallin \varepsilonmathbb{N} </tex>, что каждая группа содержит не более <tex>L </tex> слагаемых, то и <tex> \sum_{k = 0}^{\infty} a_k = S </tex>. 3. Если <tex> a_k </tex> множество вещественны, <tex>E\sum_{j = 0}^{\infty} A_j = S \in \overline{\mathbb{R}}</tex> можно заключить , а члены в не более чем счетное объединение интерваловкаждой группе одного знака, суммарная длина которых меньше то и <tex>\varepsilonsum_{k = 0}^{\infty} a_k = S </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 106-107

Замечание: из пункта 1 следует, что если ряд после расстановки скобок расходится, то расходится и исходный ряд. Если же ряд после расстановки скобок сходится, то про поведение исходного ряда ничего сказать нельзя. Однако, если при этом выполнены условия 2 или 3, то можно сделать и обратное заключение. (это вообще то?) === Интеграл с переменным верхним пределом Теорема о перестановке слагаемых ряда ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_k</tex> абсолютно сходится к сумме <tex>ES, \subsetvarphi:\mathbb{RN}\to\mathbb{N}</tex> - невырожденный промежуток — биекция. Тогда ряд <tex>f\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> абсолютно сходится к <tex>S</tex>.|proof=1. Сначала рассмотрим случай, когда ряд положительный:E<tex>\toforall k\in\mathbb{RN},a_k\ fge0</tex> интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в . Обозначим<tex>ES_n=\sum_{k=1}^n a_k,T_n=\ asum_{k=1}^n a_{\in Evarphi(k)}</tex>. Функция

<tex>\Phiforall n T_n\le S_m\le S,</tex> где <tex>m=max\{\varphi(1),...\varphi(xn)\}</tex>. Следовательно, ряд <tex>\sum_{k=1}^\int_a^xfinfty a_{\varphi(k)}</tex> сходится,и его сумма <tex>T\ x\in Ele S</tex>.

называется '''интегралом с переменным верхним пределом'''Доказано, что перестановка положительного ряда не увеличивает его сумму.}Применяя это утверждение к перестановке <tex>\varphi^{-1}</tex>, получаем неравенство <tex>S\le T</tex>.

=== Кусочно-непрерывная функция ==={{Определение|definition=Функция 2. Пусть члены ряда <tex>a_k</tex>f:вещественны. По [a,b[#Признак сравнения сходимости положительных рядов|признаку сравнения]]положительные ряды с членами <tex>(a_k)_\topm</tex> сходятся. По доказанному ряды с членами <tex>(a_{\mathbb{Rvarphi(k)})_\pm</tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на сходятся к тем же суммам. Следовательно, ряд <tex>[a,b]\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex>сходится как разность двух сходящихся рядов, если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.}}причем

<tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}=\sum_{k= Почти первообразная 1}^\infty (a_{\varphi(k)})_+-\sum_{k=1}^\infty(a_{\varphi(k)})_-=\sum{k=1}^\infty(a_k)_+-\sum{k=1}^\infty(a_k)_-=\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex>

=== Несобственный интеграл ==={{Определение|definition=3. Пусть члены ряда <tex>-\infty<a<b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)a_k</tex>. Символ комплексные, <tex>x_k=\int_a^{Re a_k, y_k=\to b}fIm a_k</tex> называется '''несобственным интегралом'''. Интегралы Ряды с вещественными членами <tex>\int_a^Af</tex> при <tex>A\in[ax_k,b)y_k</tex> называются '''частными''' или '''частичными'''абсолютно сходятся. Если <tex>\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af</tex> в <tex>\overline{\mathbb{R}}</tex>, равный <tex>I</tex>, то символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> приписывают значение <tex>I</tex>. В противном случае символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> По доказанному их суммы не приписывают никакого значения. Если <tex>\mathbb{R}</tex>, то говорят, что несобственный интеграл '''сходится'''; в противном случае говорят, что он '''расходится'''меняются при перестановке.

{{Теорема|about=Перестановка членов условно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\sum_{k= Аддитивная функция промежутка 1}^\infty a_k</tex> с вещественными членами сходится условно. Тогда <tex>\forall S\in\overline{\mathbb{R}} \exists</tex> перестановка, после которой ряд будет иметь сумму <tex>S</tex>. <tex>\exists</tex> перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.|proof=Докажем теорему, когда <tex>S\in[0,+\infty)</tex>. Пусть <tex>\{b_p\},\{c_q\}</tex> — подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; <tex>b_p=a_{n_p},c_q=a_{m_q}</tex>. Оба ряда <tex>\sum{p=1}^\infty b_p, \sum_{q=1}^\infty c_q</tex> расходятся. Положим <tex>p_0=q_0=0</tex>. Обозначим через <tex>p_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{p=1}^{p_1} b_p>S\ge\sum{p=1}^{p_1-1} b_p</tex>.

Затем обозначим через <tex>q_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S-\sum_{p=1}^{p_1}b_p</tex>, то есть <tex>\sum_{p= Плотность аддитивной функции промежутка 1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S\le\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_1, q_1</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.

Продолжим построение неограниченно. Пусть номера <tex>p_1,...,p_{s-1},q_1,...q_{s-1}</tex> уже выбраны. Обозначим через <tex>p_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p<S-\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>, то есть <tex>\sum_{p= Площадь 1}^{p_s-1}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q\le S<\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>.

Затем обозначим через <tex>q_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_s}c_q<S-\sum_{p=1}^{p_s}b_p</tex>, то есть <tex>\sum_{p= Длина пути 1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s}c_q< S\le\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_s, q_s</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.

=== Сумма ряда Теорема о произведении рядов ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Умножение рядовПусть |statement=Если ряды <tex>{a_k}_\sum_{k=1}^{\infty} a_k </tex> - вещественная или комплексная последовательность. Символ и <tex>\undersetsum_{kj =1}{\overset^{\infty}{\sum}}a_k = a_1+a_2+a_3+...b_j </tex> абсолютно сходятся к суммам <tex> A </tex> и <tex> B </tex> называется '''числовым рядом''', а числа то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к <tex>a_kAB </tex> .|proof=Виноградов, том 2, стр. 131}} === Теорема Стокса-- его членами.Зайдля о непрерывности предела последовательности функций ===

Если последовательность <tex>\{S_n\}_{n=1}^\infty</tex> имеет предел <tex>S</tex>, то <tex>S</tex> называют '''суммой ряда'''.}}== Теорема об предельном переходе под знаком интеграла ===

=== Сходящийся ряд, расходящийся ряд Теорема о предельном переходе под знаком производной ===

=== Остаток сходящегося ряда =Определения ==[[Участник:Yulya3102/Матан/Определения]]