Изменения

* Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции* '''Теорема о свойствах неопределенного интеграла'''

* '''Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей'''* '''Теорема о формуле трапеций'''

* '''Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям'''* '''Признак сравнения сходимости несобственного интеграла'''* '''Теорема об абсолютной сходимости'''

* '''Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.'''* '''Площадь подграфика. '''

* '''Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши'''* '''Признак сравнения сходимости положительных рядов'''* '''Признак Коши'''* '''Признак Даламбера'''* Интегральный признак Коши* '''Признак Раабе'''* '''Теорема об абсолютно сходящихся рядах'''* Признак Лейбница. Следствие.* Признаки Дирихле и Абеля для рядов* '''Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками'''* Теорема о перестановке слагаемых ряда* '''Теорема о произведении рядов'''

<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>

и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.

Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.

<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.

<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.

<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.</tex>

{{Теорема|about=О свойствах неопределённого интеграла|statement=Пусть функции <tex> f, g: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex> имеют первообразные, <tex> \alpha \in \mathbb{R} </tex>. Тогда 1. Функция <tex> f + g </tex> имеет первообразную и <tex> \int (f + g) = \int f + \int g </tex>; 2. Функция <tex> \alpha f </tex> имеет первообразную и при <tex> \alpha \neq 0 </tex> <tex> \int \alpha f = \alpha \int f </tex>.|proof=Виноградов, том 1, стр. 254}}

=== Интегральность Иррациональность числа пи ===

<tex>\pi=~\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.</tex>

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Вики]В кратце - формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу. 

{{Теорема|about=== Признак сравнения Критерий Больцано-Коши сходимости положительных рядов |statement=Сходимость ряда <tex> \sum_{k ==1}^{\infty} a_k </tex> равносильна условию

<tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N \ \forall p \in \mathbb{N} \left | \sum_{k =n + 1}^{n + p} a_k \right | < \varepsilon </tex>.|proof== Признак Коши ===Виноградов, том 2, стр. 104}}

=== Признак Даламбера сравнения сходимости положительных рядов ==={{Теорема|about=Признак сравнения сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k, b_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex>, <tex> a_k = O(b_k) </tex> при <tex> k \to \infty </tex>.

1. Если ряд <tex> \sum_{k =1}^{\infty} b_k </tex> сходится, то и ряд <tex> \sum_{k == Интегральный признак Коши === 1}^{\infty} a_k </tex> сходится.

2. Если ряд <tex> \sum_{k =1}^{\infty} a_k </tex> расходится, то и ряд <tex> \sum_{k =1}^{\infty} b_k </tex> расходится.|proof= Признак Раабе === Виноградов, том 2, стр. 108-109}}

=== Признак Коши ==={{Теорема об абсолютно сходящихся рядах |about=Радикальный признак Коши сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex>, <tex> \mathcal{K} =\underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} = \sqrt[n]{a_n} </tex>.

1. Если <tex> \mathcal{K} > 1 </tex>, то ряд <tex> \sum_{k === Признак Лейбница1}^{\infty} a_k </tex> расходится. Следствие. ===

2. Если <tex> \mathcal{K} < 1 </tex>, то ряд <tex> \sum_{k =1}^{\infty} a_k </tex> сходится.|proof== Признаки Дирихле и Абеля для рядов === Виноградов, том 2, стр. 110}}

=== Признак Даламбера ==={{Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками |about=Признак Даламбера сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex> и существует предел <tex> \mathcal{D} = \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{a_{n + 1}}{a_n} \in \left [ 0, + \infty \right ] </tex>.

1. Если <tex> \mathcal{D} > 1 </tex>, то ряд <tex> \sum_{k === Теорема о перестановке слагаемых ряда === 1}^{\infty} a_k </tex> расходится.

2. Если <tex> \mathcal{D} < 1 </tex>, то ряд <tex> \sum_{k =1}^{\infty} a_k </tex> сходится.|proof== Теорема о произведении рядов === Виноградов, том 2, стр. 111}}

=== Интегральный признак Коши ==={{Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций |about = Интергральный признак Коши|statement =Пусть <tex>f</tex> монотонна на <tex>[1, +\infty)</tex>. Тогда ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex> и интеграл <tex>\underset{1}{\overset{+\infty}{\int}}f</tex> сходятся или расходятся одновременно.|proof = Для определенности предположим, что <tex>f</tex> убывает. Если <tex>f(x_0)<0</tex> при некотором <tex>x_0</tex>, то в силу убывания <tex>\underset{x\to+\infty}{\lim}f(x)\le f(x_0)<0</tex>, а тогда и ряд, и интеграл расходятся к <tex>-\infty</tex> по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что <tex>f\ge0</tex>. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат <tex>[0,+\infty]</tex>.

=== Теорема о предельном переходе под знаком производной === == Определения Возьмём <tex>n\in\mathbb{N}</tex> и факты ==пронумеруем эти неравенства по <tex>k</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>:

<tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(k+1)\le\int_1^{n+1}f\le \underset{k== Список ===1}{\overset{n}{\sum}}f(k)</tex>.

* Ряды Тейлора основных элементарных функций* Интеграл функции по параллелепипеду* Почти первообразная* Абсолютно сходящийся интеграл* Аддитивная функция промежутка* Плотность аддитивной функции промежутка* Площадь* Длина пути* Вектор скорости* Абсолютно сходящийся ряд* Преобразование Абеля* Перестановка ряда* Произведение рядов* Произведение степенных рядов* Поточечная сходимость функционального ряда* Равномерная сходимость функционального ряда* Метрика Сделав в пространстве непрерывных ограниченных функцийлевой части замену индекса и устремив <tex>n</tex> к <tex>\infty</tex>, получим неравенство

<tex>\underset{k=2}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)\le\int_1^{+\infty}f\le \underset{k== Ряды Тейлора основных элементарных функций ===1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex>,

=== Локальный экстремум ==={{Определение|definition= <math>x_0</math> называется '''точкой локального максимума''' функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такаяоткуда следует, что: <math>\forall x\in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);</math><math>x_0</math> называется '''точкой локального минимума''' функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).</math>Если неравенства выше строгие, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального максимума сумма и интеграл конечны или минимума соответственнонет одновременно.

=== Точка возрастания функции Признак Раабе ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>. Признак Раабе|statement=Если <tex>\exists \deltaa_n >0:\ \forall x\in(x_0-\delta,x_0)\ f(x)\le f(x_0)</tex> и <tex>\forall xunderset{n \in(x_0,x_0+to \infty}{\delta)lim} n \ fleft (x)\ge f(x_0frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1 \right )= p </tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''точкой возрастания''' функции <tex>f</tex>.}}

=== Стационарная точка ==={{Определение|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>1. Если при <tex>f'(x_0)=0</texp >, то <tex>x_01 </tex> называется '''стационарной точкой''' функции <tex>f</tex>. Если <tex>f'(x_0)=0</tex> или <tex>f</tex> не дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''критической точкой''' функции <tex>f</tex>.}}ряд сходится;

=== Выпуклая функция ==={{Определение|id=определение выпуклости|definition=Функция <tex>f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}</tex> называется: '''выпуклой вниз''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если <tex>\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle, \ t\in(0,1)</tex> выполняется неравенство <tex>f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>; '''строго выпуклой вниз''' на 2. при <tex>\langle a,b\ranglep </tex>, если <tex>\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle \ (x_1\ne x_2), \ t\in(0,1)</tex> выполняется неравенство <tex>f(tx_1+(1-t)x_2) < tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>ряд расходится. Если выполняются противоположные неравенства, то функция <tex>f</tex> называется соответственно '''выпуклой вверх''' или '''строго выпуклой вверх''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>. Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто '''выпуклыми''', а те, что были названы выпуклыми вверх, - '''вогнутыми'''.}}=== Выпуклое множество в R^m =|proof=={{Определение|definition=Множество (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве) называется '''выпуклым''', если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий.???

=== Надграфик и подграфик Теорема об абсолютно сходящихся рядах ======= Надграфик ====???{{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex>f:\langle aЕсли ряд сходится абсолютно,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>то он сходится. Множество <tex>\{(x|proof=Виноградов,y)\in\mathbb{R}^том 2:x\in\langle a,b\rangle, y\ge f(x)\}</tex> называется '''надграфиком''' функции <tex>f</tex>стр.120

<tex>Q_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in[a,b],0\le y\le f(x)\}</tex> называется '''подграфиком''' функции <tex>f</tex>.}} === Опорная прямая Признак Лейбница. Следствие. ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение опорной прямойПризнак Лейбница сходимости рядов|definitionstatement=Пусть посл-ть <tex>f:\langle a,b\rangle\to{b_n\mathbb{R}</tex> монотонна,<tex>b_n\ x_0\in\langle a,b\rangleto0</tex>. Прямая, задаваемая уравнением Тогда ряд <tex>y \sum_{k= 1}^\ellinfty (x-1)^{k-1}b_k</tex>сходится.|proof=Для определенности предположим, называется '''опорной''' для функции что <tex>f\{b_n\}</tex> в точке убывает, и поэтому <tex>x_0b_n \ge 0</tex>, если . Рассмотрим посл-ть <tex>\forall x{S_{2m}\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)}</tex>. Если жеОна возрастает, поскольку

<tex>\forall x\in \langle a,b\rangle\backslash\S_{x_0\2m} \ f-S_{2(x_0m-1)}=b_{2m-1}-b_{2m}\ell(x_0),\ f(x)>\ell(x)ge0</tex>,

то прямая называется '''строго опорной''' для функции <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex>и ограничена сверху, т.к.}}

=== Первообразная ==={{Определение|id=определение первообразной|definition=Пусть <tex>f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbbS_{R2m}</tex>=b_1+(-b_2+b_3)+... Функция <tex>F</tex> называется '''первообразной''' функции <tex>f</tex> на <tex>+(-b_{2m-2}+b_{2m-1})-b_{2m}\langle a,b\ranglele b_1</tex>, если.

Поэтому <tex>\forall x{S_{2m}\in}</tex> сходится к некоторому пределу <tex>S</tex>. Но тогда и <tex>S_{2m+1} = S_{2m}+ b_{2m+1}\langle ato S</tex>,bпоскольку <tex>b_{2m+1}\rangleto 0</tex>. По [[#Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка|лемме о подпоследовательностях]] <tex>S_n\ F'(x)=f(x)to S</tex>.

=== Таблица первообразных ==='''Замечание 1. <tex>\int0dx=C</tex>'''

2Т.к. <tex>\int x^\alpha dxS_{2m}=(b_1-b_2) + ... + (b_{x^2m-1}-b_{2m}\alpha+1ge0</tex> и <tex>S_{2m}\over\alpha+1}+Cle b_1</tex>,по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве|теореме о предельном переходе в неравенстве]] <tex>0 \ le S \alpha\ne-1le b_1</tex>.

3Ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, иногда называют ''лейбницевскими''. <tex>\int {dx\over x}=ln\vert x\vert+C</tex>

4'''Замечание 2. <tex>\int a^x dx={a^x\over \ln a}+C</tex>'''

6. <tex>0\int le(-1)^n(S-S_n)\cos x dx=\sin xle b_{n+C1}</tex>.

7Для доказательства нужно применить замечание 1 к остатку ряда. <tex>\int {dx\over \cos ^2 x}=\tan x+C</tex>

8=== Признаки Дирихле и Абеля для рядов ==={{Теорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов|statement='''1. Признак Дирихле.''' Если посл-ть <tex>A_n=\int sum_{dxk=1}^n a_k</tex> ограничена, а <tex>b_n\over to0</tex>, то ряд <tex>\sin sum_{k=1}^2x}=-\cot x+Cn a_kb_k</tex>сходится.

9'''2. Признак Абеля.''' Если ряд <tex>\intsum_{dxk=1}^n a_k</tex> сходится, а последовательность <tex>\over{b_k\sqrt}</tex> ограничена, то ряд <tex>\sum_{k=1-x}^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+Cn a_kb_k</tex>сходится.|proof=101. Применим [[#Преобразование Абеля|преобразование Абеля]], положив <tex>\int{dx\over 1+x^2}A_0=\arctan x+C0</tex>:

11. <tex>\intsum_{dx\over\sqrt{xk=1}^2\pm1}}na_kb_k=\ln\vert xA_nb_n+\sqrtsum_{xk=1}^2\pm1{n-1}\vertA_k(b_k-b_{k+C1}).</tex>

12. Из того, что <tex>\int{dxA_n\over1-x^2}={1\over2}\ln</tex> ограничена, а <tex>\left\vert{1+xb_n\over1-x}</tex> бесконечно мала, следует, что <tex>A_nb_n\right\vert+Cto0</tex>. Поэтому сходимость исходного ряда равносильна сходимости ряда

=== Дробление отрезка ==={{Определение|id=определение дробления|definition=Пусть <tex>[a,b]\sum_{k=1}^\infty A_k(b_k-b_{k+1}).</tex> - невырожденный отрезок. Набор точек

Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть <tex>K</tex> таково, что <tex>\forall k |A_k|\le K</tex>. Поскольку <tex>\{b_k\}</tex> монотонна, все разности <tex>b_k-b_{k+1}</tex> одного знака. Следовательно, <tex>\tau sum_{k= 1}^\infty |A_k(b_{x_kk+1}-b_k)|\le K\sum_{k=1}^n_\infty |b_k-b_{k+1}|=0K\left|\sum_{k=1}:^\ ainfty(b_k-b_{k+1})\right|=K|b_1-\underset{n\to\infty}{\lim}b_n|=x_0<x_1<K|b_1|...<x_n=b</tex>

называется '''дроблением''' отрезка <tex>[a,b]</tex>В предпоследнем равенстве мы вычислили телескопическую сумму. Отрезки <tex>[x_k,x_{k+1}\ (k\in[0:n-1])</tex> называют '''отрезками дробления''', через <tex>\Delta x_k</tex> обозначается длина <tex>k</tex>-го отрезка дробления. Величина

2. Так как <tex>\lambda = {b_k\}</tex> монотонна и ограничена, <tex>\exists \underset{n\to\lambda_infty}{\taulim}b_n=\undersetalpha</tex>. Посл-ти <tex>\{0a_k\le k}, \le n{b_k-\alpha\}</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha)</tex> сходится, а тогда и ряд <tex>\sum_{maxk=1}^\Delta x_kinfty a_kb_k</tex>сходится как сумма двух сходящихся:

называется '''рангом''' или '''мелкостью''' дробления <tex>\tau</tex>. Набор точек <tex>sum_{k=1}^\xiinfty a_kb_k=\sum_{\xi_k\k=1}^{n\infty a_k(b_k-1}_{k=0}</tex>, таких что <tex>\xi_kalpha) + \alpha\in[x_k,x_sum_{k+=1}]^\ \forall k\in[0:n-1]</tex>, называется '''оснащением''' дробленияinfty a_k. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара <tex>(\tau, \xi)</tex>, называется '''оснащенным дроблением'''.

=== Дробление параллелепипеда Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками ===

Пусть параллелепипед задан двумя точками дан ряд <tex>a,b\in\mathbbsum_{Rk = 1}^m{\infty} a_k </tex>. '''Дроблением параллелепипеда''' называется множество дроблений и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex>\lambda_1,...{ n_j \} _{j = 0}^{\infty},\lambda_mn_0 = 0 </tex>, где . Положим <tex>A_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \lambda_iin \mathbb{Z}_{+} </tex> - дробление отрезка . Тогда говорят, что ряд <tex>[a_i, b_i]\sum_{j = 0}^{\infty} </tex>получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).

=== Что значит, что одно дробление мельче другого ===//для отрезка{{ОпределениеТеорема|definitionabout=О группировке слагаемых рядаДробление |statement=1. Если <tex>a\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = S </tex> мельче дробления ( <tex>bS \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} </tex>, если набор точек дробления или <tex>a\mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> содержится в наборе этих точек для ), то и <tex>b</tex>.\sum_{j = 0}^{\infty}//для параллелепипеда{{Определение|definitionA_j =Дробление мельче, если для всех дроблений из <tex>\lambdaS </tex> верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.}}//Копипаста http://vk.com/topic-29253653_26076730?post=1937

2. Если <tex> \sum_{j === Сумма Дарбу ===1}^{{Определение|id\infty} A_j =определение сумм Дарбу|definition=Пусть S </tex> ( <tex>f: [a,b]S \in \tooverline{\mathbb{R},} \cup \{ \infty \} </tex> или <tex> \ mathbb{C} \tau=cup \{x_k\infty \}^n_</tex> ), <tex> a_n \to 0 </tex>, и существует такое <tex> L \in \mathbb{k=0N}</tex> - дробление , что каждая группа содержит не более <tex>[aL </tex> слагаемых,b]то и <tex> \sum_{k = 0}^{\infty} a_k = S </tex>,.

3. Если <tex>M_k=\underset{x\in[x)k,x_{k+1}]}{\sup}f(x),\ m_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\inf}f(x),\ k\in[0:n-1]a_k </tex>. Суммы вещественны, <tex>S=S_\tau(f)=\undersetsum_{kj =0}^{\overset{n-1infty}A_j = S \in \overline{\summathbb{R}}M_k\Delta x_k</tex> , а члены в каждой группе одного знака, то и <tex>s=s_\tau(f)=\undersetsum_{k=0}^{\overset{n-1infty}{\sum}}m_k\Delta x_ka_k = S </tex>.|proof=называются '''верхней и нижней интегральными суммами''' или '''суммами Дарбу''' функции <tex>f</tex>Виноградов, том 2, отвечающими дроблению <tex>\tau</tex>стр.106-107

=== Верхний интеграл Дарбу ==={{Определение|id=определение интеграла Дарбу|definition=Пусть <tex>fЗамечание:[aиз пункта 1 следует,b]\to\mathbb{R}</tex>что если ряд после расстановки скобок расходится, то расходится и исходный ряд. Если же ряд после расстановки скобок сходится, то про поведение исходного ряда ничего сказать нельзя. Однако, если при этом выполнены условия 2 или 3, то можно сделать и обратное заключение. Величины(это вообще то?)

=== Теорема о перестановке слагаемых ряда ==={{Теорема|about=Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>I\sum_{k=1}^*\infty a_k</tex> абсолютно сходится к сумме <tex>S, \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</tex> — биекция. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\undersetinfty a_{\tauvarphi(k)}</tex> абсолютно сходится к <tex>S</tex>.|proof=1. Сначала рассмотрим случай, когда ряд положительный: <tex>\forall k\in\mathbb{\infN}S_a_k\tauge0</tex>, и . Обозначим<tex>I_*S_n=\undersetsum_{k=1}^n a_k, T_n=\tausum_{k=1}^n a_{\supvarphi(k)}s_\tau</tex>.

называются '''верхним и нижним интегралами Дарбу''' функции <tex>f\forall n T_n\le S_m\le S,</tex>.}} === Интегрируемая по Риману функция ==={{Определение|id=определение интегрируемой по Риману функции|definition=Пусть где <tex>f:[am=max\{\varphi(1),b]...\tovarphi(n)\mathbb{R}</tex>. Если существует предел интегральных сумм Следовательно, ряд <tex>\undersetsum_{k=1}^\lambda\to0}infty a_{\lim}\sigma</tex>, равный числу <tex>I</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''интегрируемой по Риману''' на <tex>[a,b]</tex>, а число <tex>I</tex> - '''интегралом varphi(определенным интегралом, интегралом Риманаk)''' от функции <tex>f}</tex> по отрезку <tex>[aсходится,b]</tex> и обозначается его сумма <tex>T\int^b_afle S</tex>.}}

=== Риманова сумма ==={{Определение|id=определение сумм Римана|definition=2. Пусть члены ряда <tex>f:a_k</tex> вещественны. По [a[#Признак сравнения сходимости положительных рядов|признаку сравнения]] положительные ряды с членами <tex>(a_k)_\pm</tex> сходятся. По доказанному ряды с членами <tex>(a_{\varphi(k)})_\pm</tex> сходятся к тем же суммам. Следовательно,b]ряд <tex>\tosum_{k=1}^\mathbbinfty a_{R\varphi(k)}</tex>. Суммысходится как разность двух сходящихся рядов, причем

<tex>\sigmasum_{k=1}^\sigma_infty a_{\tauvarphi(f,\xik)}=\undersetsum_{k=01}^\infty (a_{\oversetvarphi(k)})_+-\sum_{n-k=1}^\infty(a_{\varphi(k)})_-=\sum{k=1}^\infty(a_k)_+-\sum{k=1}f^\infty(a_k)_-=\xi_k)sum_{k=1}^\Delta x_kinfty a_k.</tex>

называются '''интегральными суммами''' или '''суммами Римана''' функции 3. Пусть члены ряда <tex>fa_k</tex>комплексные, отвечающими оснащенному дроблению <tex>(x_k=\tauRe a_k,y_k=\xi)Im a_k</tex>. Ряды с вещественными членами <tex>x_k, y_k</tex> абсолютно сходятся. По доказанному их суммы не меняются при перестановке.

{{Теорема|about=Перестановка членов условно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\omega(f)_Dsum_{k=1}^\infty a_k</tex> с вещественными членами сходится условно. Тогда <tex>\underset{x,yforall S\in D}\overline{\supmathbb{R}(f(x)-f(y))} \exists</tex> называется '''колебанием''' функции перестановка, после которой ряд будет иметь сумму <tex>fS</tex> на множестве . <tex>D\exists</tex>перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.}} === Множество объема 0 ==={{Определение|definitionproof=Множество Докажем теорему, когда <tex>AS\subsetin[0,+\infty)</tex>. Пусть <tex>\{b_p\},\mathbb{Rc_q\}^n</tex> имеет объём 0— подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; <tex>b_p=a_{n_p}, если c_q=a_{m_q}</tex>. Оба ряда <tex>\forallsum{p=1}^\varepsilon>0infty b_p, \ sum_{q=1}^\existsinfty c_q</tex> покрытие множества расходятся. Положим <tex>Ap_0=q_0=0</tex> брусами . Обозначим через <tex>B_1p_1</tex> наименьшее натуральное число,...,B_k:для которого <tex>\undersetsum_{ip=1}^{p_1} b_p>S\oversetge\sum{kp=1}^{\sump_1-1}} V(B_i)<\varepsilonb_p</tex>.}}

=== Множество меры 0 ==={{Определение|definition=ГоворятЗатем обозначим через <tex>q_1</tex> наименьшее натуральное число, что множество для которого <tex>E\subsetsum_{q=1}^{q_1}c_q<S-\mathbbsum_{p=1}^{Rp_1}b_p</tex> имеет '''нулевую меру''', если то есть <tex>\forallsum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S\le\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\varepsilon>0sum_{q=1}^{q_1-1}c_q</tex> множество . Такие <tex>Ep_1, q_1</tex> можно заключить найдутся в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше силу расходимости рядов <tex>\varepsilonb_p, c_q</tex>.}}

=== Интеграл с переменным верхним пределом ==={{Определение|definition=Продолжим построение неограниченно. Пусть номера <tex>E\subset\mathbbp_1,...,p_{s-1},q_1,...q_{Rs-1}</tex> - невырожденный промежуток уже выбраны. Обозначим через <tex>p_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>f:E\tosum_{p=1}^{p_s}b_p<S-\mathbbsum_{q=1}^{Rq_s-1},\ fc_q</tex> интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в то есть <tex>E,\ asum_{p=1}^{p_s-1}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q\le S<\in Esum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Функция

Затем обозначим через <tex>q_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\Phi(x)sum_{q=1}^{q_s}c_q<S-\int_asum_{p=1}^xf{p_s}b_p</tex>,то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s}c_q< S\le\ xsum_{p=1}^{p_s}b_p+\in Esum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_s, q_s</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.

называется '''интегралом с переменным верхним пределом'''Ряд <tex>b_1+...+b_{p_1}+c_1+...+c_{q_1}+...+b_{p_{s-1}+1}+...+b_{p_s}+...+c_{q{s-1}}+...+c_{q_s}+...</tex> получен из исходного ряда перестановкой. Докажем, что он сходится к <tex>S</tex>. Сгруппировав члены одного знака, получим ряд <tex>B_1+C_1+...+B_s+C_s+...</tex>; обозначим его частные суммы через <tex>T_n</tex>. По построению <tex>0<T_{2s-1}-S\le b_{p_s}, c_{q_s}\le T_{2s}-S<0</tex>. Поскольку ряд <tex>a_k</tex> сходится, <tex>b_s,c_s\to0</tex>. Следовательно, <tex>T_n\to S</tex>. По теореме о группировке членов ряда ряд сходится к <tex>S</tex>.

=== Кусочно-непрерывная функция Теорема о произведении рядов ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Функция Умножение рядов|statement=Если ряды <tex>f:[a,b]\tosum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и <tex> \mathbbsum_{j = 1}^{R\infty}b_j </tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на абсолютно сходятся к суммам <tex> A </tex> и <tex> B </tex>[a,b]то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к <tex> AB </tex>.|proof=Виноградов, если множество ее точек разрыва пусто или конечнотом 2, и все имеющиеся разрывы - первого родастр.131

=== Почти первообразная Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций ===

=== Несобственный интеграл Теорема об предельном переходе под знаком интеграла ==={{Определение|definition=Пусть <tex>-\infty<a<b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)</tex>. Символ <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называется '''несобственным интегралом'''. Интегралы <tex>\int_a^Af</tex> при <tex>A\in[a,b)</tex> называются '''частными''' или '''частичными'''. Если <tex>\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af</tex> в <tex>\overline{\mathbb{R}}</tex>, равный <tex>I</tex>, то символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> приписывают значение <tex>I</tex>. В противном случае символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> не приписывают никакого значения. Если <tex>\mathbb{R}</tex>, то говорят, что несобственный интеграл '''сходится'''; в противном случае говорят, что он '''расходится'''.}}

=== Абсолютно сходящийся интеграл === === Аддитивная функция промежутка === === Плотность аддитивной функции промежутка === === Площадь === === Длина пути === === Вектор скорости === === Сумма ряда ==={{Определение|definition=Пусть <tex>{a_k}_{k=1}^\infty</tex> - вещественная или комплексная последовательность. Символ <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = a_1+a_2+a_3+...</tex> называется '''числовым рядом''', а числа <tex>a_k</tex> - его членами. Если последовательность <tex>\{S_n\}_{n=1}^\infty</tex> имеет предел <tex>S</tex>, то <tex>S</tex> называют '''суммой ряда'''.}} === Сходящийся ряд, расходящийся ряд ==={{Определение|definition=Если последовательность <tex>\{S_n\}_{n=1}^\infty</tex> сходится, то говорят, что ряд '''сходится''', в противном случае говорят, что он '''расходится'''.}} === Остаток сходящегося ряда ==={{Определение|definition=Ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> называется '''остатком''' ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> после <tex>m</tex>-го члена.}} === Абсолютно сходящийся ряд ===  === Преобразование Абеля === === Перестановка ряда === === Произведение рядов === === Произведение степенных рядов === === Поточечная сходимость функционального ряда === === Равномерная сходимость функционального ряда Теорема о предельном переходе под знаком производной ===

=== Метрика в пространстве непрерывных ограниченных функций =Определения ==[[Участник:Yulya3102/Матан/Определения]]