Изменения

* '''Теорема о свойствах неопределенного интеграла'''

* '''Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей'''* '''Теорема о формуле трапеций'''

* '''Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям'''* '''Признак сравнения сходимости несобственного интеграла'''* '''Теорема об абсолютной сходимости'''

* '''Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.'''* '''Площадь подграфика. '''

* '''Признак Даламбера'''* '''Признак Раабе'''* '''Теорема об абсолютно сходящихся рядах'''

* '''Теорема о произведении рядов'''

<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>

и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.

Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.

<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.

<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.

<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.</tex>

{{Теорема|about=О свойствах неопределённого интеграла|statement=Пусть функции <tex> f, g: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex> имеют первообразные, <tex> \alpha \in \mathbb{R} </tex>. Тогда 1. Функция <tex> f + g </tex> имеет первообразную и <tex> \int (f + g) = \int f + \int g </tex>; 2. Функция <tex> \alpha f </tex> имеет первообразную и при <tex> \alpha \neq 0 </tex> <tex> \int \alpha f = \alpha \int f </tex>.|proof=Виноградов, том 1, стр. 254}}

=== Интегральность Иррациональность числа пи ===

<tex>\pi=~\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.</tex>

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Вики]В кратце - формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу. 

{{Теорема|about=Аддитивность несобственного интеграла|statement=Если интеграл <tex> \int_a^b f </tex> сходится, то для любой точки <tex> c \in (a, b) </tex> интеграл <tex> \int_c^b f </tex> тоже сходится, и <tex> \int_a^b f = \int_a^c f \int_c^b f</tex>. Обратно, если при некотором <tex> c \in (a, b) </tex> интеграл <tex> \int_c^b f </tex> сходится, то сходится и интеграл <tex> \int_a^b f </tex>.|proof=Виноградов т , том 2 , стр . 51 }} {{Теорема|about=Линейность несобственного интеграла|statement=Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> сходятся, <tex> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>, то интеграл <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) </tex> сходится и <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 52}} {{Теорема|about=Монотонность несобственного интеграла|statement=Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> существуют в <tex> \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex> f \leqslant g </tex> на <tex> [a, b) </tex>, то <tex> \int_a^b f \leqslant \int_a^b g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 52}} {{Теорема|about=Интегрирование по частям в несобственном интеграле|statement=Пусть <tex> f, g </tex> дифференцируемы на <tex> [a, b), \ f', g' \in R_{loc} [a, b) </tex>. Тогда <tex> \int_a^b f g' = fg |_a^b - 54\int_a^b f' g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 53}}

{{Теорема|about=Признак сравнения сходимости несобственных интегралов|statement=Пусть <tex> f, g \in R_loc [a, b), \ f, g \geqslant 0, \ f(x) = O(g(x)) </tex> при <tex> x \to b- </tex>. 1. Если интеграл <tex> \int_a^b g </tex> сходится, то и интеграл <tex> \int_a^b f </tex> сходится. 2. Если интеграл <tex> \int_a^b f </tex> расходится, то и интеграл <tex> \int_a^b g </tex> расходится.|proof=Виноградов т , том 2 , стр . 56}}

=== Признак Раабе === {{Теорема|about=Признак Раабе|statement=Если <tex> a_n > 0 </tex> и <tex> \underset{n \to \infty}{\lim} n \left ( \frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1 \right ) = p </tex>, то 1. при <tex> p > 1 </tex> ряд сходится; 2. при <tex> p < 1 </tex> ряд расходится.|proof=???}}

=== Теорема об абсолютно сходящихся рядах === ???{{Теорема|statement=Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 120}}

Пусть дан ряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex> \{ n_j \} _{j = 0}^{\infty}, \ n_0 = 0 </tex>. Положим <tex> A_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \in \mathbb{Z}_{+} </tex>. Тогда говорят, что ряд <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} </tex> получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).

=== Теорема о произведении рядов === {{Теорема|about=Умножение рядов|statement=Если ряды <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и <tex> \sum_{j = 1}^{\infty} b_j </tex> абсолютно сходятся к суммам <tex> A </tex> и <tex> B </tex>, то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к <tex> AB </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 131}}

== Определения и факты == === Список === * Ряды Тейлора основных элементарных функций* Интеграл функции по параллелепипеду — обобщить на <tex>\mathbb{R}^m</tex>: [[Интеграл_Римана_по_прямоугольнику]]* Вектор скорости* Произведение степенных рядов === Ряды Тейлора основных элементарных функций === === Локальный экстремум ==={{Определение|definition= <math>x_0</math> называется '''точкой локального максимума''' функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что: <math>\forall x\in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);</math><math>x_0</math> называется '''точкой локального минимума''' функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).</math>Если неравенства выше строгие, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.}} === Точка возрастания функции ==={{Определение|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>. Если <tex>\exists \delta>0:\ \forall x\in(x_0-\delta,x_0)\ f(x)\le f(x_0)</tex> и <tex>\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\ f(x)\ge f(x_0)</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''точкой возрастания''' функции <tex>f</tex>.}} === Стационарная точка ==={{Определение|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>. Если <tex>f'(x_0)=0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''стационарной точкой''' функции <tex>f</tex>. Если <tex>f'(x_0)=0</tex> или <tex>f</tex> не дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''критической точкой''' функции <tex>f</tex>.}} === Выпуклая функция ==={{Определение|id=определение выпуклости|definition=Функция <tex>f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}</tex> называется: '''выпуклой вниз''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если <tex>\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle, \ t\in(0,1)</tex> выполняется неравенство <tex>f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>; '''строго выпуклой вниз''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если <tex>\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle \ (x_1\ne x_2), \ t\in(0,1)</tex> выполняется неравенство <tex>f(tx_1+(1-t)x_2) < tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>. Если выполняются противоположные неравенства, то функция <tex>f</tex> называется соответственно '''выпуклой вверх''' или '''строго выпуклой вверх''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>. Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто '''выпуклыми''', а те, что были названы выпуклыми вверх, - '''вогнутыми'''.}}=== Выпуклое множество в R^m ==={{Определение|definition=Множество (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве) называется '''выпуклым''', если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий.}} === Надграфик и подграфик ======= Надграфик ===={{Определение|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>. Множество <tex>\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in\langle a,b\rangle, y\ge f(x)\}</tex> называется '''надграфиком''' функции <tex>f</tex>.}}==== Подграфик ===={{Определение|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R},f\ge0</tex>. Множество <tex>Q_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in[a,b],0\le y\le f(x)\}</tex> называется '''подграфиком''' функции <tex>f</tex>.}} === Опорная прямая ==={{Определение|id=определение опорной прямой|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in\langle a,b\rangle</tex>. Прямая, задаваемая уравнением <tex>y = \ell(x)</tex>, называется '''опорной''' для функции <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\forall x\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)</tex>. Если же <tex>\forall x\in \langle a,b\rangle\backslash\{x_0\} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)>\ell(x)</tex>, то прямая называется '''строго опорной''' для функции <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex>.}} === Первообразная ==={{Определение|id=определение первообразной|definition=Пусть <tex>f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>. Функция <tex>F</tex> называется '''первообразной''' функции <tex>f</tex> на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если <tex>\forall x\in\langle a,b\rangle\ F'(x)=f(x)</tex>.}} === Таблица первообразных ===1. <tex>\int0dx=C</tex> 2. <tex>\int x^\alpha dx={x^{\alpha+1}\over\alpha+1}+C,\ \alpha\ne-1</tex> 3. <tex>\int {dx\over x}=ln\vert x\vert+C</tex> 4. <tex>\int a^x dx={a^x\over \ln a}+C</tex> 5. <tex>\int \sin x dx=-\cos x+C</tex> 6. <tex>\int \cos x dx=\sin x+C</tex> 7. <tex>\int {dx\over \cos ^2 x}=\tan x+C</tex> 8. <tex>\int {dx\over \sin ^2x}=-\cot x+C</tex> 9. <tex>\int{dx\over\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C</tex> 10. <tex>\int{dx\over 1+x^2}=\arctan x+C</tex> 11. <tex>\int{dx\over\sqrt{x^2\pm1}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2\pm1}\vert+C</tex> 12. <tex>\int{dx\over1-x^2}={1\over2}\ln\left\vert{1+x\over1-x}\right\vert+C</tex> === Дробление отрезка ==={{Определение|id=определение дробления|definition=Пусть <tex>[a,b]</tex> - невырожденный отрезок. Набор точек <tex>\tau = \{x_k\}^n_{k=0}:\ a=x_0<x_1<...<x_n=b</tex> называется '''дроблением''' отрезка <tex>[a,b]</tex>. Отрезки <tex>[x_k,x_{k+1}\ (k\in[0:n-1])</tex> называют '''отрезками дробления''', через <tex>\Delta x_k</tex> обозначается длина <tex>k</tex>-го отрезка дробления. Величина <tex>\lambda = \lambda_\tau=\underset{0\le k\le n-1}{max}\Delta x_k</tex> называется '''рангом''' или '''мелкостью''' дробления <tex>\tau</tex>. Набор точек <tex>\xi=\{\xi_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>, таких что <tex>\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]\ \forall k\in[0:n-1]</tex>, называется '''оснащением''' дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара <tex>(\tau, \xi)</tex>, называется '''оснащенным дроблением'''.}} === Дробление параллелепипеда ==={{Определение|definition=Пусть параллелепипед задан двумя точками <tex>a,b\in\mathbb{R}^m</tex>. '''Дроблением параллелепипеда''' называется множество дроблений <tex>\lambda_1,...,\lambda_m</tex>, где <tex>\lambda_i</tex> - дробление отрезка <tex>[a_i, b_i]</tex>.}} === Что значит, что одно дробление мельче другого ===//для отрезка{{Определение|definition=Дробление <tex>a</tex> мельче дробления <tex>b</tex>, если набор точек дробления <tex>a</tex> содержится в наборе этих точек для <tex>b</tex>.}}//для параллелепипеда{{Определение|definition=Дробление мельче, если для всех дроблений из <tex>\lambda</tex> верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.}}//Копипаста http://vk.com/topic-29253653_26076730?post=1937 === Сумма Дарбу ==={{Определение|id=определение сумм Дарбу|definition=Пусть <tex>f: [a,b]\to\mathbb{R},\ \tau=\{x_k\}^n_{k=0}</tex> - дробление <tex>[a,b]</tex>, <tex>M_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\sup}f(x),\ m_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\inf}f(x),\ k\in[0:n-1]</tex>. Суммы <tex>S=S_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k</tex> и <tex>s=s_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}m_k\Delta x_k</tex> называются '''верхней и нижней интегральными суммами''' или '''суммами Дарбу''' функции <tex>f</tex>, отвечающими дроблению <tex>\tau</tex>.}} === Верхний интеграл Дарбу ==={{Определение|id=определение интеграла Дарбу|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Величины <tex>I^*=\underset{\tau}{\inf}S_\tau</tex>, и <tex>I_*=\underset{\tau}{\sup}s_\tau</tex> называются '''верхним и нижним интегралами Дарбу''' функции <tex>f</tex>.}} === Интегрируемая по Риману функция ==={{Определение|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Число <tex> I </tex> называют '''пределом интегральных сумм''' при ранге дробления, стремящемся к нулю, если для любого положительного числа <tex> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex> \delta </tex>, что для любого оснащения дробления <tex> ( \tau, \xi ) </tex>, ранг которого меньше <tex> \delta </tex>, интегральная сумма отличается от числа <tex> I </tex> меньше чем на <tex> \varepsilon </tex>.}} {{Определение|id=определение интегрируемой по Риману функции|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Если существует предел интегральных сумм <tex>\underset{\lambda\to0}{\lim}\sigma</tex>, равный числу <tex>I</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''интегрируемой по Риману''' на <tex>[a,b]</tex>, а число <tex>I</tex> - '''интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана)''' от функции <tex>f</tex> по отрезку <tex>[a,b]</tex> и обозначается <tex>\int^b_af</tex>.}} === Интеграл функции по параллелепипеду === === Риманова сумма ==={{Определение|id=определение сумм Римана|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Суммы <tex>\sigma=\sigma_\tau(f,\xi)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi_k)\Delta x_k</tex> называются '''интегральными суммами''' или '''суммами Римана''' функции <tex>f</tex>, отвечающими оснащенному дроблению <tex>(\tau,\xi)</tex>.}} === Колебание функции на множестве ==={{Определение|id=определение колебания функции на множестве|definition=Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex>. Величина <tex>\omega(f)_D=\underset{x,y\in D}{\sup}(f(x)-f(y))</tex> называется '''колебанием''' функции <tex>f</tex> на множестве <tex>D</tex>.}} === Множество объема 0 ==={{Определение|definition=Множество <tex>A\subset\mathbb{R}^n</tex> имеет объём 0, если <tex>\forall\varepsilon>0\ \exists</tex> покрытие множества <tex>A</tex> брусами <tex>B_1,...,B_k:\underset{i=1}{\overset{k}{\sum}} V(B_i)<\varepsilon</tex>.}} === Множество меры 0 ==={{Определение|definition=Говорят, что множество <tex>E\subset\mathbb{R}</tex> имеет '''нулевую меру''', если <tex>\forall\varepsilon>0</tex> множество <tex>E</tex> можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше <tex>\varepsilon</tex>.}} === Интеграл с переменным верхним пределом ==={{Определение|definition=Пусть <tex>E\subset\mathbb{R}</tex> - невырожденный промежуток <tex>f:E\to\mathbb{R},\ f</tex> интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в <tex>E,\ a\in E</tex>. Функция <tex>\Phi(x)=\int_a^xf,\ x\in E</tex> называется '''интегралом с переменным верхним пределом'''.}} === Кусочно-непрерывная функция ==={{Определение|definition=Функция <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на <tex>[a,b]</tex>, если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.}} === Почти первообразная ==={{Определение|id=определение почти первообразной|definition=Пусть <tex>f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>. Функция <tex>F</tex> называется '''почти первообразной''' функции <tex>f</tex> на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если <tex>F'(x)=f(x)</tex> во всех, кроме конечного множества, точках промежутка <tex>\langle a, b\rangle</tex>.}} === Несобственный интеграл ==={{Определение|definition=Функция <tex> f </tex> называется '''локально интегрируемой''' (по Риману) на промежутке <tex> E </tex>, если <tex> f </tex> интегрируема (по Риману) на каждом отрезке, содержащемся в <tex> E </tex>. Множество функций, локально интегрируемых на <tex> E </tex>, обозначается через <tex> R_{loc}(E) </tex>.}} {{Определение|definition=Пусть <tex>-\infty<a<b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)</tex>. Символ <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называется '''несобственным интегралом'''. Интегралы <tex>\int_a^Af</tex> при <tex>A\in[a,b)</tex> называются '''частными''' или '''частичными'''. Если <tex>\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af</tex> в <tex>\overline{\mathbb{R}}</tex>, равный <tex>I</tex>, то символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> приписывают значение <tex>I</tex>. В противном случае символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> не приписывают никакого значения. Если <tex>I \in \mathbb{R}</tex>, то говорят, что несобственный интеграл '''сходится'''; в противном случае говорят, что он '''расходится'''.}} === Абсолютно сходящийся интеграл ==={{Определение|definition=Интеграл <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл <tex>\int_a^{\to b}|f|</tex>.}} === Аддитивная функция промежутка ==={{Определение|definition=Пусть дан отрезок <tex>[A, B]</tex>. Обозначим <tex>\psi = \{[\alpha, \beta] \subset [A, B]\}</tex>. <tex>T: \psi \to \mathbb{R}</tex> называют функцией промежутка. Она будет аддитивной, если <tex>T[\alpha, \beta] + T[\beta, \gamma] = T[\alpha, \gamma]</tex>}} === Плотность аддитивной функции промежутка ==={{Определение|definition=<tex>T: \psi \to \mathbb{R}</tex> {{---}} аддитивная функция промежутка. Ее плотностью называется величина <tex>{T[\alpha, \beta]\over {\beta - \alpha}}</tex>.}} === Площадь ==={{Определение|definition='''Площадью''' называется функционал <tex> S: \{ P \} \to [0, + \infty ) </tex>, заданный на некотором классе <tex> \{ P \} </tex> подмножеств плоскости, называемых ''квадрируемыми фигурами'', и обладающий следующими тремя свойствами: 1. ''Аддитивность''. Если <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> — квадрируемые фигуры, причём <tex> P_1 \cap P_2 \neq \varnothing </tex>, то <tex> P_1 \cup P_2 </tex> — квадрируемая фигура и <tex> S(P_1 \cup P_2) = S(P_1) + S(P_2) </tex>. 2. ''Нормированность на прямоугольниках''. Площадь прямоугольника со сторонами <tex> a </tex> и <tex> b </tex> равна <tex> ab </tex>. 3. ''Инвариантность относительно движений''. Если <tex> P </tex> — квадрируемая фигура, <tex> U </tex> — движение плоскости (то есть отображение <tex> \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex>, сохраняющее расстояние между точками), то <tex> U(P) </tex> — квадрируемая фигура и <tex> S(U(P)) = S(P) </tex>.}} === Длина пути ==={{Определение|definition='''Путём''' в <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется непрерывное отображение отрезка в <tex> \mathbb{R}^n </tex>Участник: <tex> \gamma = (\gamma_1, ..., \gamma_m):[a, b] \to \mathbb{R}^m <Yulya3102/tex>. Точка <tex> \gamma(a) <Матан/tex> называется '''началом''', <tex> \gamma(b) </tex> — '''концом''' пути. Множество <tex> \gamma^* = \gamma([a, bОпределения]) </tex>, то есть образ отрезка <tex> [a, b] </tex>, называется '''носителем''' пути.}} {{Определение|definition=Пусть <tex> \gamma </tex> — путь в <tex> \mathbb{R}^n </tex>. Величина <tex> s_{\gamma} = \underset{\tau}{\sup}(\ell_{\tau}) </tex> называется '''длиной пути''' <tex> \gamma </tex>.}} === Вектор скорости === === Сумма ряда ==={{Определение|definition=Пусть <tex>\{a_k\}_{k=1}^\infty</tex> - вещественная или комплексная последовательность. Символ <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = a_1+a_2+a_3+...</tex> называется '''числовым рядом''', а числа <tex>a_k</tex> - его членами. Если последовательность <tex>\{S_n\}_{n=1}^\infty</tex> имеет предел <tex>S</tex>, то <tex>S</tex> называют '''суммой ряда'''.}} === Сходящийся ряд, расходящийся ряд ==={{Определение|definition=Если последовательность <tex>\{S_n\}_{n=1}^\infty</tex> сходится, то говорят, что ряд '''сходится''', в противном случае говорят, что он '''расходится'''.}} === Остаток сходящегося ряда ==={{Определение|definition=Ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> называется '''остатком''' ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> после <tex>m</tex>-го члена.}} === Абсолютно сходящийся ряд ==={{Определение|definition=Говорят, что ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> '''''сходится абсолютно''''', если сходится ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}|a_k|</tex>.}} === Преобразование Абеля ==={{Лемма|about=Преобразование Абеля|statement=Пусть <tex>\{a_k\},\{b_k\}</tex> - числовые посл-ти, <tex>A_0\in\mathbb{R}, A_k=\sum_{j=1}^k a_j+A_0</tex> при <tex>k\in\mathbb{N}</tex>. Тогда <tex>\forall n\in\mathbb{N}</tex> <tex>\sum_{k=1}^n a_kb_k=A_nb_n-A_0b_1+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>|proof=<tex>\sum_{k=1}^n a_kb_k=\sum_{k=1}^n(A_k-A_{k-1})b_k=\sum_{k=1}^nA_kb_k-\sum_{k=1}^nA_{k-1}b_k=\sum_{k=1}^nA_kb_k-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_{k+1}=A_nb_n-A_0b_1+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>}} Преобразование Абеля — дискретный аналог интегрирования по частям <tex>\int_1^nfg=F(n)g(n)-F(1)g(1)-\int_1^nFg'</tex> === Перестановка ряда ==={{Определение|definition=Пусть <tex>\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</tex> — биекция (перестановка натурального ряда). Тогда говорят, что ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_{\varphi(k)}</tex> получен из ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> перестановкой членов или является перестановкой ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>.}} === Произведение рядов ==={{Определение|definition=Пусть даны ряды <tex>\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> и <tex>\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex>. Их произведением называют ряд <tex>\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}a_k b_k</tex>}} === Произведение степенных рядов === === Поточечная сходимость функционального ряда ==={{Определение|definition=<tex>\{u_k(x)\}^{\infty}_{k=1} : E \to \mathbb{C}</tex>Ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}u_k(x)</tex> сходится поточечно к <tex>u(x)</tex>, если <tex>\forall{x} \in E \hspace{1mm} \exists \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}u_k(x) = u(x)</tex>}} === Равномерная сходимость функционального ряда ==={{Определение|definition=<tex>\{u_k(x)\}^{\infty}_{k=1} : E \to \mathbb{C}</tex>. Ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}u_k(x)</tex> сходится равномерно к <tex>u(x)</tex>, если <tex>\underset{x \in E}{\sup}{|u_k(x) - u(x)|} \underset{k\to\infty}{\to} 0</tex>}} === Метрика в пространстве непрерывных ограниченных функций ==={{Определение|definition=Пусть <tex>F(X,\;Y)</tex> — пространство непрерывных и ограниченных отображений из <tex>X</tex> в метрическое пространство <tex>Y</tex>. Расстояние между двумя отображениями <tex>f_1</tex> и <tex>f_2</tex> из этого пространства определяется как <tex>d_F(f_1,\;f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),\;f_2(x))\colon x\in X\}.</tex>}}