Изменения

{{Определение|definition=Бинарное отношение <mathtex>R</mathtex>, заданное на множестве <mathtex>X</mathtex> называется '''транзитивным''', если для <mathtex>\forall a, b, c \in X</mathtex> выполняется <mathtex>aRb, bRc \Rightarrow aRc</mathtex>}}

* Если отношение <mathtex>R</mathtex> транзитивно, то обратное отношение <mathtex>R^{-1}</mathtex> также транзитивно. Пусть <mathtex>aR^{-1}b, bR^{-1}c</mathtex>, но по определению обратного отношения <mathtex>cRb, bRa</mathtex>. Так как <mathtex>R</mathtex> транзитивно, то <mathtex>cRa</mathtex> и <mathtex>aR^{-1}c</mathtex>, что и требовалось доказать.* Если отношения <mathtex>R, S</mathtex> транзитивны, то отношение <mathtex>T = R \cap S</mathtex> тразнитивно. Пусть <mathtex>aTb, bTc \Rightarrow aRb, aSb, bRc, bSc</mathtex>. Из транзитивности <mathtex>R, S</mathtex> следует <mathtex>aRc, aSc</mathtex>, но из определения пересечения отношений получаем <mathtex>aTc</mathtex>, что и требовалось доказать.

* отношение <mathtex>\le</mathtex> на множестве вещественных чисел* отношение <mathtex>\subset</mathtex> на множестве наборов