Троичная логика

Определение:

Троичная или трёхзначная логика (англ. ternary logic) — исторически первая многозначная логика, разработанная Яном Лукасевичем в 1920 г. Является простейшим расширением двузначной логики.

В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки [math]-[/math] и [math]+[/math]. Третьему (серединному) состоянию соответствует знак [math]0[/math]. Допустимо использование таких наборов знаков, как [math]\{0,1,2\}[/math], [math]\{-1,0,1\}[/math], [math]\{0,1/2,1\}[/math] [math]\{N,Z,P\}[/math], и др. Иногда используют обозначения И, Л, Н (истина, ложь и неизвестность).

Классическими примерами состояний такой логики являются знаки [math]\gt [/math], [math]\lt [/math] и [math]=[/math], состояние постоянного тока (движется в одну сторону, движется в другую сторону, отсутствует) и др.

Преимущества перед двоичной логикой

Определение:

Троичная система счисления (англ. Ternary numeral system)— позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная ({0,1,2}, {0,1/2,1} и др.) и симметричная (обычно {−,0,+} или {−1,0,1}).

Троичная логика обладает рядом преимуществ перед двоичной. Ниже перечислены основные:

• Троичная СС позволяет вмещать больший диапазон чисел в памяти троичного компьютера, поскольку [math]3^n\gt 2^n[/math].

• Очевидно, что троичная СС использует меньше разрядов для записи чисел, по-сравнению с двоичной СС. Например:

[math]1110101_2=11100_3[/math]

[math]1000_2=22_3[/math]

(для троичной СС используется несимметричный набор {0,1,2}.

Эти два важных преимущества перед двоичной системой счисления говорят о большей экономичности троичной системы счисления.

Определение:

Экономичность системы счисления (англ. Radix economy) — возможность представления как можно большего количества чисел с использованием как можно меньшего общего количества знаков.

Докажем экономичность троичной системы счисления математически.

Пусть [math]p[/math] – основание системы счисления, а [math]n[/math] – количество требуемых знаков. Для записи [math]n[/math] знаков потребуется [math]\dfrac n p[/math] разрядов, а количество чисел, которое при этом можно записать, будет равно [math]p^{\frac n p}[/math].

Рассмотрим функцию [math]f(p)=p^{\dfrac n p}[/math].

Для того, чтобы определить максимальное значение функции, найдем ее производную:

[math]f'(p)=n(p^{\dfrac n {p-2}}) \ne 0 \Rightarrow 1 - \ln⁡ p = 0, \ln p = 1, p = e[/math]

[math]e \approx 2,71[/math], ближайшее число к [math]e[/math] — [math]3[/math].

• Троичная логика включает в себя почти все возможности двоичной логики.

• Компьютер, основанный на троичной логике, обладает большим быстродействием. Например, троичный сумматор и полусумматор в троичном компьютере при сложении тритов выполняет примерно в 1,5 раза меньше операций сложения по-сравнению с двоичным компьютером.

Проблемы реализации

Одним из барьеров, сдерживающих развитие и распространение троичной техники, является неверное представление о необычности и трудной постижимости трехзначной логики. Современная формальная логика (как традиционная, так и математическая) основана на принципе двузначности. Кроме того, электронные компоненты для построения логики, использующие более двух состояний, требуют больше материальных затрат на их производство, достаточно сложны в реализации, и потребляют больше электроэнергии, поэтому троичные компьютеры занимают очень малое место в истории. Использование двоичных компьютеров — более простых и дешёвых в реализации — практически полностью затмило применение троичных компьютеров.

Одноместные операции

Очевидно, что в троичной логике всего существует [math]3^3=27[/math] одноместных операций.

[math]NOT^-[/math],[math]NOT[/math] и [math]NOT^+[/math] — операторы инверсии. [math]NOT^-[/math] и [math]NOT^+[/math] сохраняют состояние [math]-[/math] и [math]+[/math] соответственно.

[math]S^+[/math], [math]S^+[/math] — операторы выбора. Превращают одно из трёх состояний в [math](+)[/math], а остальные две приобретают значение [math](-)[/math].

[math]INC[/math] и [math]DEC[/math] — операторы модификации, соответственно увеличение и уменьшение трита на единицу по модулю три. При переполнении трита счёт начинается заново ([math]INC (+) = (-)[/math]).

"[math]+[/math]", " [math]0[/math] " и "[math]-[/math]" — фунцкии, не зависящие от аргумента [math]a[/math].

[math]a[/math]	[math]-[/math]	[math]0[/math]	[math]+[/math]
[math]f_0[/math]	-	-	-	[math]-[/math]
[math]f_1[/math]	-	-	0	[math]\searrow[/math]
[math]f_2[/math]	-	-	+	[math]S^+[/math]
[math]f_3[/math]	-	0	-
[math]f_4[/math]	-	0	0
[math]f_5[/math]	-	0	+	[math]a[/math]
[math]f_6[/math]	-	+	-	[math]S[/math]
[math]f_7[/math]	-	+	0	[math]NOT^-[/math]
[math]f_8[/math]	-	+	+
[math]f_9[/math]	0	-	-
[math]f_{10}[/math]	0	-	0
[math]f_{11}[/math]	0	-	+	[math]NOT^+[/math]
[math]f_{12}[/math]	0	0	-
[math]f_{13}[/math]	0	0	0	[math]0[/math]
[math]f_{14}[/math]	0	0	+	[math]a^+[/math]
[math]f_{15}[/math]	0	+	-	[math]INC[/math]
[math]f_{16}[/math]	0	+	0	[math]a^o[/math]
[math]f_{17}[/math]	0	+	+	[math]\nearrow[/math]
[math]f_{18}[/math]	+	-	-	[math]S^-[/math]
[math]f_{19}[/math]	+	-	0	[math]DEC[/math]
[math]f_{20}[/math]	+	-	+
[math]f_{21}[/math]	+	0	-	[math]NOT[/math]
[math]f_{22}[/math]	+	0	0	[math]a^-[/math]
[math]f_{23}[/math]	+	0	+
[math]f_{24}[/math]	+	+	-
[math]f_{25}[/math]	+	+	0
[math]f_{26}[/math]	+	+	+	[math]+[/math]

Остальные функции образуются путём сочетания операторов выбора с операторами инверсии и модификации.

	[math]S^-[/math]	[math]S[/math]	[math]S^+[/math]
[math]NOT^-[/math]	[math]f_9[/math]	[math]f_3[/math]	[math]f_1[/math]
[math]NOT[/math]	[math]f_8[/math]	[math]f_{20}[/math]	[math]f_{24}[/math]
[math]NOT^-[/math]	[math]f_{22}[/math]	[math]f_{16}[/math]	[math]f_{14}[/math]
[math]INC[/math]	[math]f_4[/math]	[math]f_{10}[/math]	[math]f_{12}[/math]
[math]DEC[/math]	[math]f_{17}[/math]	[math]f_{23}[/math]	[math]f_{25}[/math]

Двухместные операции

Всего в троичной логике существует [math]3^{3^2}=19683[/math] двухместные операции. Для реализации любой из них при использовании сколь угодного числа переменных достаточно использовать операции выбора и наиболее простые двухместные операции: дизъюнкция и конъюнкция.

В троичной логике более наглядно использование префиксной нотации для этих операций.

[math]a \vee b = max(a,b)[/math]

[math]a \wedge b = min(a,b)[/math]

Таблица результатов дизъюнкции двух переменных.

[math]max(a,b)[/math]	[math]-[/math]	[math]0[/math]	[math]+[/math]
[math]-[/math]	-	0	+
[math]0[/math]	0	0	+
[math]+[/math]	+	+	+

Таблица результатов конъюнкции двух переменных.

[math]max(a,b)[/math]	[math]-[/math]	[math]0[/math]	[math]+[/math]
[math]-[/math]	-	-	-
[math]0[/math]	-	0	0
[math]+[/math]	-	0	+

Алгебраические свойства

1. Свойства констант:

[math]a \wedge (+) = a[/math]

[math]a \wedge (-) = (-)[/math]

[math]a \vee (+) = (+)[/math]

[math]a \vee (-) = a[/math]

[math]\overline{(-)} = (+)[/math]

[math]\overline{(+)} = (-)[/math]

2. Для конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы, закон идемпотентности.
3. Закон двойного отрицания (отрицания Лукашевича) и тройного (циклического) отрицания:

[math]\overline{\overline{a}}=a[/math]

[math]a'''=a[/math]

4. Буквальное определение циклического отрицания вытекает из следующих свойств:

[math](-) ' = 0[/math]

[math]0 ' = (+)[/math]

[math](+) ' = (-)[/math]

5. Имеет место быть неизменность третьего состояния ("0") при отрицании Лукашевича:

[math]\overline{0} = 0[/math]

[math]\overline{(a \wedge 0)} = \overline{a} \vee 0[/math]

Для законов двоичной логики, не справедливых для троичной, существуют их троичные аналоги.

6. Закон несовместности состояний (аналог закона противоречия в двоичной логике):

[math]Sa \wedge Sa'' = (-)[/math]

[math]Sa' \wedge Sa'' = (-)[/math]

[math]Sa' \wedge Sa = (-)[/math]

7. Закон исключённого четвёртого (вместо закона исключённого третьего), он же закон полноты состояний:

[math]Sa' \vee Sa \vee Sa'' = (+)[/math], или

[math]S^-a \vee Sa \vee S^+a = (+)[/math]

8. Трёхчленный закон Блейка-Порецкого:

[math]a \vee Sa' \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b[/math], или

[math]a \vee S^-a \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b[/math]

9. Закон трёхчленного склеивания:

[math] a \wedge Sb' \vee a \wedge Sb \vee a \wedge Sb'' = a[/math], или

[math]a \wedge S^-b \vee a \wedge Sb \vee a \wedge S^+b = a[/math]

10. Закон обобщённого трёхчленного склеивания:

[math]a \wedge Sd' \vee b \wedge Sd \vee c \wedge Sd'' \vee a \wedge b \wedge c = a \wedge Sd' \vee b \wedge Sd \vee c \wedge Sd''[/math], или

[math]a \wedge S^-d \vee b \wedge Sd \vee c \wedge S^+d \vee a \wedge b \wedge c = a \wedge S^-d \vee b \wedge Sd \vee c \wedge S^+d[/math]

11. Антиизотропность отрицания Лукашевича:

[math]a \leqslant b \Rightarrow \overline a \geqslant \overline b[/math]

Перспективы развития

Говоря о будущем таких машин, как «Сетунь» (то есть троичных компьютеров), известный американский учёный Дональд Кнут, отмечал, что они занимают очень мало место в отрасли вычислительной техники, что объясняется массовым засильем двоичных компонентов, производимых в огромных количествах. Но, поскольку троичная логика гораздо эффектнее, а главное, эффективнее двоичной, не исключено, что в недалёком будущем к ней вернутся.

В настоящий момент, в условиях интегральной технологии и микроэлектроники привлекательность троичной техники увеличивается: сложность трехзначных вентилей теперь не так страшна, а сокращение количества соединений и уменьшение рассеиваемой мощности особенно ценны. Особо благоприятное влияние на развитие троичное логики оказало пришествие квантовых компьютеров — вычислительных устройств, работающих на основе квантовой механики, принципиально отличающихся от классических компьютеров, работающих на основе классической механики. }} Полноценный квантовый компьютер является пока гипотетическим устройством, сама возможность построения которого связана с серьёзным развитием квантовой теории в области многих частиц и сложных экспериментов; эта работа лежит на переднем крае современной физики. Канадская компания D-Wave заявила в феврале 2007 года о создании образца квантового компьютера, состоящего из 16 кубит — квантовых аналогов битов. Используя в универсальных квантовых вентилях кутриты вместо кубитов, можно существенно снизить количество необходимых вентилей. Ланьон утверждает, что компьютер, который в обычном случае использовал бы 50 традиционных квантовых вентилей, сможет обойтись всего девятью, будучи основанным на троичном представлении. Также, согласно некоторым исследованиям, использование кутритов вместо кубитов позволит упростить реализацию квантовых алгоритмов и компьютеров.

См. также

• Функциональные схемы

• Троичная функциональная схема

Источники информации

• Заметки о троичной цифровой технике — часть 1

• «Сетунь» — единственный серийный троичный компьютер

• Википедия — Троичная логика

• Хабрахабр — Замена двоичной логики — увеличит ли это производительность?

• Жизнь сквозь решето сети — Третье состоянье

• Жизнь сквозь решето сети — Трёхзначная логика