Квантовые гейты

Идея квантового компьютера, высказанная Фейнманом (Richard Phillips Feynman) в 1982 году, достаточно проста. Она состоит в построении компьютера на основе квантовых, а не классических элементарных ячеек. Законы квантовой механики, определяющие поведение таких квантовых битов (quantum bit) – кубитов, обеспечивают огромные преимущества (скорость и параллелизм вычислений) квантового компьютера по сравнению с классическим компьютером.

Классический компьютер состоит из элементарных ячеек – битов, двум состояниям которых приписываются значения [math]1[/math] или [math]0[/math]. В наборе битов (регистре) записывается и перерабатывается информация в виде двоичных чисел. Один бит имеет два базисных состояния [math]0[/math] и [math]1[/math]. Система из [math]N[/math] битов имеет [math]2N[/math] базисных состояний. В квантовом компьютере элементарными ячейками для записи информации являются квантовые биты – кубиты. Кубит – это квантовая система, которая, как и бит, имеет два базисных состояния [math]\mid0\bigr\rangle[/math] и [math]\mid 1\bigr\rangle[/math], но в отличие от бита, кубит может находиться в любом суперпозиционном состоянии [math]\mid q\bigr\rangle=a\mid0\bigr\rangle+b\mid 1\bigr\rangle[/math]. Набор [math]N[/math] кубитов составляет квантовый регистр.

Наиболее важным отличием кубитов от классических битов является не непрерывная природа суперпозиционных состояний, а возможность квантового перепутывания состояний в системе кубитов. В квантовой механике размерность пространства состояний системы в целом есть произведение (а не сумма) размерностей пространств состояний отдельных подсистем. Система из [math]N[/math] кубитов имеет [math]2^N[/math], а не [math]2N[/math] базисных состояний.

Определение:

Любая логическая операция с кубитами называется квантовым гейтом.

По числу задействованных кубитов гейты делятся на одно- и многокубитные. Гейт переводит одно состояние регистра в другое. Действие гейта на регистр можно записать так: [math]G\mid R\bigr\rangle=\mid R^\prime\bigr\rangle[/math].

Гейты – линейные операции: [math]G(\mid p\bigr\rangle+\mid g\bigr\rangle)=G\mid p\bigr\rangle+G\mid g\bigr\rangle[/math].

Демонстрация действия гейта на кубит

Для демонстрации действия гейта на кубиты используют матричную запись гейта или таблицу истинности. Матрица гейта действует на столбец весовых коэффициентов регистра и получается новый столбец, соответствующий новому состоянию регистра. В случае, если в действии гейта не участвуют некоторые кубиты, то их и не включают в матрицу, т.e. в матрице записано только реальное действие кубитов. Таблица истинности отражает действие гейта на базисные состояния. Ее структура имеет следующий вид: по горизонтали записывается слева начальные состояния входящих кубитов, а справа — соответствующие конечные. По вертикали записываются все базисные состояния. Пример матричной записи кубита и таблиц истинности будет дан в таблице ниже.

Описание используемых гейтов

В квантовом случае, как и в теории классических вычислений, любую обратимую унитарную операцию на кубитах можно представить как совокупность базовых операций. Базисом квантовой логики может служить один трехкубитный гейт (например Тоффоли [math](CCNOT)[/math] или Фредкина [math](CSWAP)[/math] — описание этих гейтов будет дано ниже) или один однокубитный и один двукубитный гейт (например [math]NOT[/math] и [math]CNOT[/math])

Однокубитный гейт [math]NOT[/math]

Однокубитная логическая операция [math]NOT[/math] переводит [math]\mid q\bigr\rangle=a\mid0\bigr\rangle+b\mid 1\bigr\rangle[/math] в [math]\mid q^\prime\bigr\rangle=b\mid0\bigr\rangle+a\mid 1\bigr\rangle[/math].

т.e. переставляет весовые коэффициенты кубита местами. В классическом случае ей соответствует обычный [math]NOT[/math], т.к. один из коэффициентов равен нулю. Матрица действия этого гейта и таблица истинности выглядят так:

[math]NOT=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]; [math]NOT:\begin{matrix} \mid0\mid&1\mid \\\mid1\mid&0\mid \end{matrix}[/math]