Задача о наибольшей общей подпоследовательности

Задача нахождения наибольшей общей подпоследовательности (longest common subsequence, LCS) — это задача поиска последовательности, которая является самой длинной подпоследовательностью нескольких последовательностей (обычно двух).

Определения

Определение:

Последовательность [math] Z = \left \langle z_1, z_2, ..., z_k \right \rangle [/math] является подпоследовательностью (subsequence) последовательности [math] X = \left \langle x_1, x_2, ..., x_m \right \rangle [/math], если существует строго возрастающая последовательность [math] \left \langle i_1, i_2, ..., i_k \right \rangle [/math] индексов [math] X [/math] таких, что для всех [math] j = 1, 2, ..., k [/math] выполняется соотношение [math] x_{i_j} = z_j [/math].

Другими словами, подпоследовательность данной последовательности — это последовательность, из которой удалили ноль или больше элементов. Например, [math] Z = \left \langle B, C, D, B \right \rangle [/math] является подпоследовательностью последовательности [math] X = \left \langle A, B, C, B, D, A, B \right \rangle [/math], а соответствующая последовательность индексов имеет вид [math] \left \langle 2, 3, 5, 7 \right \rangle [/math].

Определение:

Последовательность [math] Z [/math] является общей подпоследовательностью (common subsequence) последовательностей [math] X [/math] и [math] Y [/math], если [math] Z [/math] является подпоследовательностью как [math] X [/math], так и [math] Y [/math].

Постановка задачи

Даны две последовательности: [math] X = \left \langle x_1, x_2, ..., x_m \right \rangle [/math] и [math] Y = \left \langle y_1, y_2, ..., y_n \right \rangle [/math]. Требуется найти общую подпоследовательность [math] X [/math] и [math] Y [/math] максимальной длины. Заметим, что таких подпоследовательностей может быть несколько.

Наивная идея решения

Переберем все различные подпоследовательности обеих строк и сравним их. Тогда искомая LCS гарантированно найдётся, однако время работы алгоритма будет экспоненциально зависеть от длины исходных последовательностей.

Динамическое программирование

Данная задача решается с использованием принципа оптимальности на префиксе.

Доказательство оптимальности

Теорема:

Пусть имеются последовательности [math] X = \left \langle x_1, x_2, ..., x_m \right \rangle [/math] и [math] Y = \left \langle y_1, y_2, ..., y_n \right \rangle [/math], а [math] Z = \left \langle z_1, z_2, ..., z_k \right \rangle [/math] — их НОП. Если [math] x_m = y_n [/math], то [math] z_k = x_m = y_n [/math] и [math] Z_{k - 1} [/math] — НОП [math] X_{m - 1} [/math] и [math] Y_{n - 1} [/math] Если [math] x_m \neq y_n [/math], то из [math] z_k \neq x_m [/math] следует, что [math] Z [/math] — НОП [math] X_{m - 1} [/math] и [math] Y [/math] Если [math] x_m \neq y_n [/math], то из [math] z_k \neq y_n [/math] следует, что [math] Z [/math] — НОП [math] X [/math] и [math] Y_{n - 1} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если бы выполнялось [math] z_k \neq x_m [/math], то к [math] Z [/math] можно было бы добавить элемент [math] x_m = y_n [/math], и тогда получилась бы общая подпоследовательность длины [math] k + 1 [/math], что противоречит предположению, что [math] Z [/math] — НОП. Значит, выполняется [math] z_k = x_m = y_n [/math]. Значит, [math] Z_{k - 1} [/math] — общая подпоследовательность [math] X_{m - 1} [/math] и [math] Y_{n - 1} [/math]. Докажем от противного, что [math] Z_{k - 1} [/math] — НОП: тогда есть общая подпоследовательность [math] W [/math], длина которой больше [math] k - 1 [/math]. Добавив к [math] W [/math] элемент [math] x_m = y_n [/math], получим НОП [math] X [/math] и [math] Y [/math], длина которой больше [math] k [/math] (т.е. больше длины [math] Z [/math]), что приводит к противоречию. Если [math] z_k \neq x_m [/math], то [math] Z [/math] — общая подпоследовательность [math] X_{m - 1} [/math] и [math] Y [/math]. Пусть существует их общая подпоследовательность [math] W [/math], длина которой превышает [math] k [/math]. Она также является общей подпоследовательностью [math] X [/math] и [math] Y [/math], что противоречит предположению о том, что [math] Z [/math] (длины [math] k [/math]) — НОП [math] X [/math] и [math] Y [/math]. Аналогично второму случаю.

[math]\triangleleft[/math]

Решение

Обозначим как [math] lcs[i][j] [/math] НОП префиксов данных последовательностей, заканчивающихся в элементах с номерами [math] i [/math] и [math] j [/math] соответственно. Получается следующее рекуррентное соотношение:

[math] lcs[i][j] = \begin{cases} 0, & i = 0\text{ or }j = 0 \\ lcs[i - 1][j - 1] + 1, & x[i] = y[j] \\ max(lcs[i][j - 1], lcs[i - 1][j]), & x[i] \neq y[j] \end{cases} [/math]

Очевидно, что сложность алгоритма составит [math] O(mn) [/math], где [math] m [/math] и [math] n [/math] — длины последовательностей.

Построение подпоследовательности

Для каждой пары элементов помимо длины LCS соответствующих префиксов хранятся и номера последних элементов, участвующих в этой НОП.Таким образом, посчитав ответ, можно восстановить всю наибольшую общую подпоследовательность.

Псевдокод

[math] x [/math], [math] y [/math] — данные последовательности; [math] lcs[i][j] [/math] — НОП для префикса длины [math] i [/math] последовательности [math] x [/math] и префикса длины [math] j [/math] последовательности [math] y [/math]; [math] prev[i][j] [/math] — пара индексов элемента таблицы, соответствующего оптимальному решению вспомогательной задачи, выбранной при вычислении [math] lcs[i][j] [/math].

 // подсчёт таблиц
 LCS(x, y)
   m = length(x)
   n = length(y)
   for i = 1 to m
     lcs[i][0] = 0
   for j = 0 to n
     lcs[0][j] = 0
   for i = 1 to m
     for j = 1 to n
       if x[i] == y[j]
         lcs[i][j] = lcs[i - 1][j - 1] + 1
         prev[i][j] = pair(i - 1, j - 1)
       else
         if lcs[i - 1][j] >= lcs[i][j - 1]
           lcs[i][j] = lcs[i - 1][j]
           prev[i][j] = pair(i - 1, j)
         else
           lcs[i][j] = lcs[i][j - 1]
           prev[i][j] = pair(i, j - 1)
 
 // вывод НОП, вызывается как printLCS(prev, x, m, n)
 printLCS(prev, x, i, j)
   if i == 0 or j == 0 // пришли к началу НОП
     return
   if prev[i][j] == pair(i - 1, j - 1) // если пришли в lcs[i][j] из lcs[i - 1][j - 1], то x[i] == y[j], надо вывести этот элемент
     printLCS(prev, x, i - 1, j - 1)
     print x[i]
   else
     if prev[i][j] == pair(i - 1, j)
       printLCS(prev, x, i - 1, j)
     else
       printLCS(prev, x, i, j - 1)

Оптимизация для вычисления только длины НОП

Заметим, что для вычисления [math] lcs[i][j] [/math] нужны только [math] i [/math]-ая и [math] (i-1) [/math]-ая строчки матрицы [math] lcs [/math]. Тогда можно использовать лишь [math] 2 \cdot min(m, n) [/math] элементов таблицы:

 LCS2(x, y)
   if length(x) < length(y) // в таблице будет length(y) столбцов, и если length(x) меньше, выгоднее поменять местами x и y
     swap(x, y)
   m = length(x)
   n = length(y)
   for j = 0 to n
     lcs[0][j] = 0
     lcs[1][j] = 0
   for i = 1 to m
     lcs[1][0] = 0
     for j = 1 to n
       lcs[0][j] = lcs[1][j] // элемент, который был в a[1][j], теперь в предыдущей строчке
       if x[i] == y[j]
         lcs[1][j] = lcs[0][j - 1] + 1
       else
         if lcs[0][j] >= lcs[1][j - 1]
           lcs[1][j] = lcs[0][j]
         else
           lcs[1][j] = lcs[1][j - 1]
   // ответ — lcs[1][n]

Также можно заметить, что от [math] (i - 1) [/math]-ой строчки нужны только элементы с [math] (j - 1) [/math]-го столбца. В этом случае можно использовать лишь [math] min(m, n) [/math] элементов таблицы:

 LCS3(x, y)
   if length(x) < length(y) // в таблице будет length(y) столбцов, и если length(x) меньше, выгоднее поменять местами x и y
     swap(x, y)
   m = length(x)
   n = length(y)
   for j = 0 to n
     lcs[j] = 0
   d = 0 // d — дополнительная переменная, в ней хранится lcs[i - 1][j - 1]
   // в lcs[j], lcs[j + 1], …, lcs[n] хранятся lcs[i - 1][j], lcs[i - 1][j + 1], …, lcs[i - 1][n]
   // в lcs[0], lcs[1], …, lcs[j - 1] хранятся lcs[i][0], lcs[i][1], …, lcs[i][j - 1]
   for i = 1 to m
     for j = 1 to n
       tmp = lcs[j]
       if x[i] == y[i]
         lcs[j] = d + 1
       else
         if lcs[j] >= lcs[j - 1]
           lcs[j] = lcs[j] // в lcs[j] и так хранится lcs[i - 1][j]
         else
           lcs[j] = lcs[j - 1]
       d = tmp
   // ответ — lcs[n]

Список литературы

Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Риверст, К. Штайн, «Алгоритмы: построение и анализ», 2-е изд., стр 418—425