Теорема о ёмкостной иерархии

Формулировка

Теорема о емкостной иерархии утверждает, что для любых двух конструируемых по памяти функций [math]f[/math] и [math]g[/math] таких, что [math] \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0[/math], выполняется [math]DSPACE(g(n)) \ne DSPACE(f(n))[/math].

Доказательство

Зафиксируем функции [math]f[/math] и [math]g[/math].

Рассмотрим язык [math]L = \{ \langle m,x \rangle \mid m(\langle m,x \rangle )[/math] не допускает, используя не более [math] f(|\langle m,x\rangle|)[/math] памяти [math]\}[/math] и докажем, что [math]L \notin DSPACE(f)[/math] и [math]L \in DSPACE(g)[/math].

Допустим, что [math]L \in DSPACE(f)[/math], тогда существует детерминированная машина Тьюринга [math]m_0[/math] такая, что [math]L(m_0)=L[/math].

Рассмотрим выход машины [math]m_0[/math] на входе [math]\langle m_0,x\rangle[/math].

Пусть [math]m_0[/math] допускает [math]\langle m_0,x\rangle[/math]. Тогда [math]\langle m_0,x\rangle \in L[/math], но в [math]L[/math] по определению не может быть пары [math]\langle m,x\rangle[/math], которую допускает [math]m[/math]. Таким образом, [math]m_0[/math] не может допускать [math]\langle m_0,x\rangle[/math].

Если [math]m_0[/math] не допускает [math]\langle m_0,x\rangle[/math], то [math]\langle m_0,x\rangle[/math] не принадлежит языку [math]L[/math]. Из определения это значит, что либо [math]m_0[/math] допускает [math]\langle m_0,x\rangle[/math], либо не допускает, используя памяти больше [math]f(|\langle m_0,x\rangle|)[/math]. Но [math]m_0[/math] выбрана таким образом, что на любом входе [math]x[/math] она использует не более [math]f(|x|)[/math] памяти. Получаем противоречие.

Следовательно, такой машины не существует. Таким образом, [math]L \notin DSPACE(f)[/math].

[math]L \in DSPACE(g)[/math], так как языку [math]L[/math] можно сопоставить машину Тьюринга [math]m_0[/math], распознающую [math]L[/math] и такую, что на любом входе [math]\langle m_1,x\rangle \in L[/math] [math]m_0[/math] будет работать аналогично [math]m_1[/math]. Если [math]m_1[/math] завершила работу, используя не более [math]f(|\langle m_1,x\rangle|)[/math] памяти, и не допустила, то [math]m_0[/math] допускает [math]\langle m_1,x\rangle[/math]. В другом случае не допускает. Любая такая машина использует памяти не более [math]f(|\langle m_1,x\rangle|)[/math]. По условию теоремы [math]\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0[/math], поэтому начиная с некоторого [math]n[/math], [math]m_1[/math] будет использовать памяти не более [math]g(|\langle m_1,x\rangle|)[/math].

Таким образом получили, что [math]L \in DSPACE(g(n)) \setminus DSPACE(f(n))[/math] и [math]L \neq \emptyset[/math]. Следовательно, [math]DSPACE(g(n)) \neq DSPACE(f(n))[/math], что и требовалось доказать.