Алгоритмы на деревьях

Диаметр дерева

Диаметр дерева — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.

Пусть дан граф [math]G = \langle V, E \rangle [/math] Тогда диаметром [math]d[/math] называется [math]\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)[/math], где [math]dist[/math] — кратчайшее расстояние между вершинами.

Алгоритм

Возьмём любую вершину [math] v \in V [/math] и найдём расстояния до всех других вершин. [math]d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(u, i)[/math]

Возьмём вершину [math] u \in V [/math] такую, что [math]d[u] \ge d[t][/math] для любого [math]t[/math]. Снова найдём расстояние от [math]u[/math] до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом [math]BFS[/math].

Реализация

int diameterTree(graph g)              
    v = u = w = 0;
    d = bfs(g, v); 
    for i = 0; i < n; i++
         if d[i] > d[u]
              u = i;
    bfs(g, u);
    for i = 0; i < n; i++
          if d[i] > d[w]
               w = i;
    return d[w];

Обоснование корректности

Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

Теорема:

Искомое расстояние — это расстояние между двумя листами.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами [math]a, b[/math], где [math]b[/math] не является листом. Так как b не является листом, то значит её степень больше единицы, следовательно из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину [math]b[/math] мы не можем). Лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

После запуска алгоритма получим дерево [math]BFS[/math].

Теорема:

В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Предположим существует ребро [math]u, v[/math] между соседними поддеревьями: Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, предположим, это вершина [math]u[/math], тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин [math]u[/math] мы добавим в список вершину [math]v[/math], тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.

[math]\triangleleft[/math]

Мы свели задачу к нахождению вершины [math]w[/math], такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда, взяв расстояние от [math]w[/math] до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину [math]u[/math] с наибольшей глубиной после первого [math]bfs[/math], очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину [math]w[/math], такую что [math]dist(u, w)[/math] максимально. Очевидно, что проблема решается запуском bfs из [math]u[/math].

Оценка производительности

Все операции кроме [math]BFS[/math] — [math]O(1)[/math]. [math]BFS[/math] работает за линейное время, запускаем мы его 2 раза. Получаем [math]O(V + E)[/math].