Неотделимые множества

Лемма (1):

Существует вычислимая функция, не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f(n) = U(n, n) + 1[/math], где [math]U(n, n)[/math] — универсальная функция. Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение [math]g(n) \Rightarrow f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)[/math] и [math] \forall n \in \mathbb{N} \ g(n) \neq \bot[/math]. По определению универсальной функции [math]g(n) = U(i, n)[/math] для некоторого [math]i \Rightarrow g(i) = U(i, i)[/math]. Поскольку [math]g(n)[/math] всюду определена, то [math]U(i, i) \neq \bot[/math]. Значит, определено значение [math]f(i)[/math] и [math]g(i) = f(i) = U(i, i) + 1[/math]. Получили противоречие. Таким образом, построенная функция [math]f(n)[/math] не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

Существует вычислимая функция, значения которой принадлежат множеству [math]\{0, 1, \bot\}[/math], не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f(n) = \begin{cases} 0 & U(n, n) \neq 0 \text{, }U(n, n) \neq \bot \\ 1 & U(n, n) = 0 \\ \bot & U(n, n) = \bot \end{cases}[/math] Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение [math]g(n) = U(i, n)[/math] для некоторого [math]i[/math]. Поскольку [math]g(n)[/math] всюду определена, то [math]g(i) = U(i, i) \neq \bot[/math] и определено значение [math]f(i)[/math]. Но по построению функции [math]f(n)[/math] видим, что [math]f(i) \neq U(i, i)[/math]. Получили противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Существуют такие непересекающиеся перечислимые множества [math]X'[/math] и [math]Y'[/math], что не существует таких разрешимых множеств [math]X[/math] и [math]Y[/math], что [math]X' \subset X[/math], [math]Y' \subset Y[/math], [math]X \cap Y = \O[/math], [math]X \cup Y = \mathbb{N}[/math]. Такие множества [math]X'[/math] и [math]Y'[/math] называют неотделимыми (англ. inseparable sets).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим множества [math]X' = \{n \mid f(n) = 0\}[/math] и [math]Y' = \{n \mid f(n) = 1\}[/math], где [math]f(n)[/math] — функция из леммы 2. Пусть существуют [math]X[/math] и [math]Y[/math], удовлетворяющие указанным свойствам, тогда вычислима характеристическая функция [math]g(n) = \begin{cases} 1, & n \in Y \\ 0, & n \notin Y (n \in X) \end{cases}[/math] множества [math]Y[/math]. Заметим, что [math]g(n)[/math] всюду определена и является продолжением [math]f(n)[/math], что противоречит лемме 2.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры неотделимых множеств

• Пусть [math]\phi[/math] вычислимая функция, тогда [math]A = \{e : \phi_e(0) = 0 \}[/math] и [math]B = \{e : \phi_e(0) = 1\}[/math] — неотделимые множества (Gasarch 1998, p. 1047).

• Пусть [math]\phi[/math] Гёделева нумерация для формул в арифметики Пьяно, тогда [math]A = \{\phi(\psi) : PA \vdash \psi \}[/math] и [math]B = \{\phi(\psi) : PA \vdash \neg\psi \}[/math] — неотделимые множества (Smullyan 1958).

Решаемые задачи

Определение:

Полное двоичное дерево — множество всех двоичных слов (конечных последовательностей нулей и единиц); его элементы называют вершинами дерева; пустое слово является корнем этого дерева, а слова [math]x_0[/math] и [math]x_1[/math] являются сыновьями вершины [math]x[/math], которая является отцом своих сыновей. Поддеревом полного двоичного дерева называют множество вершин, которое вместе с каждой вершиной содержит её отца.

Лемма (Кёниг):

Бесконечное поддерево всегда имеет бесконечную ветвь (последовательность вершин, в которой каждая следующая является сыном предыдущей).

Можно показать, что эффективный вариант леммы Кёнига неверен: существует бесконечное разрешимое поддерево полного двоичного дерева, не имеющее вычислимой бесконечной ветви. (Взяв пару перечислимых неотделимых множеств, можно построить дерево, в котором любая бесконечная ветвь поворачивает направо в точках первого множества и налево в точках второго. При этом поддерево можно сделать разрешимым, так как запрет поворота можно наложить на произвольно высоком уровне, когда выяснится принадлежность одному из множеств).

Источники информации

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. с. 20, с. 68. ISBN 5-900916-36-7
• Wikipedia — Recursively inseparable sets
• Gasarch, William (1998), "A survey of recursive combinatorics", Handbook of recursive mathematics, Vol. 2, Stud. Logic Found. Math. 139, Amsterdam: North-Holland, pp. 1041–1176, MR 1673598
• Smullyan, Raymond M. (1958), "Undecidability and recursive inseparability", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 4: 143–147