Фундаментальные циклы графа

Определение

Определение:

Рассмотрим каркас T графа G. [math]e_1,...,e_{s}[/math] — все ребра графа G которые не входят в каркас T. При добавлении [math]e_{i}[/math] образуется простой цикл [math]C_{i}[/math]. Семейство циклов [math]C_1 ... C_{s}[/math] называется фундаментальными циклами графа G относительно каркаса T

Свойства

Теорема:

Множество всех фундаментальных циклов относительно любого каркаса T графа G образует базис циклического пространства этого графа.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим каркас T графа G и фундаментальные циклы [math] C_1 ... C_{s} [/math] относительно каркаса T. В каждом из [math] С_{i} [/math] есть ребро [math]e_{i}[/math] которое принадлежит ровно одному из [math] C_1 ... C_{s} [/math]. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно каркаса Т не является пустым графом, из чего следует, что [math] C_1 ... C_{s} [/math] линейно независимы. Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа G является суммой фундаментальных циклов. Пусть Z — цикл циклического пространства графа G, [math] e_1 ... e_{k} [/math] ребра принадлежащие Z и не принадлежащие T. Рассмотрим граф [math] F = Z \oplus C_1 \oplus ... \oplus C_{k} [/math]. Каждое из ребер [math] e_{t} , t = 1,..,k [/math] встречается ровно в двух слагаемых — Z и [math]C_{k}[/math]. Значит F содержит только ребра из T. Так как [math] C_1 ... C_{k} [/math] простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин Z тоже четны по лемме, значит степени всех вершин F четны. Если F непустой граф то в F есть цикл, значит цикл есть и в T. Значит F пустой граф, откуда следует что [math]Z = C_1 \oplus ... \oplus C_{k} [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Литература

Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.55. — ISBN 978-5-397-00622-4.