Изменения
→Полиномиальная формула
== Основные вопросы ==
==== Ненаписанные теоремы Признак Вейерштрасса ==={{Теорема|statement=Теорема о круге сходимости степенного рядаРассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.
=== Теорема об обратимости линейного отображенияинтегрировании функционального ряда ==={{Теорема|statement=Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, близкого к обрати<tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.
=== Теорема о локальной обратимостидифференцировании функционального ряда ==={{Теорема|statement=Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).
При данном <tex>n : S_n(x) =u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n === Теоремы без доказательств ====Признак ВейерштрассаS_n^{(a)} </tex>
Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о почленном предельном переходе в суммахСтокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]
=== Признак Вейерштрасса Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) a_n </tex>, где сходится. Рассмотрим функцию <tex> u_n: X f(x) = \rightarrow \mathbb{R} sum a_n x^n </tex>, равномерно сходится на . Тогда <tex> X \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>. Пусть есть точка |proof=<tex> x_0 a_n, b_n = x^n; \in X = [0, 1]</tex>, такая, что все <tex> u_n \sum a_n b_n </tex> непрерывны в — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex> x_0 [0, 1]</tex>. Тогда <tex> S(lim \ a_n x) = ^n \sum u_n(xrightarrow[x) \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex> непрерывна в точке <tex> x_0 </tex>.
}}
=== Теорема об интегрировании функционального о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a; b] </tex> (<tex> C A) </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_nsum_{k=0}^{+ \infty} a_k(xz-z_0) ^k </tex> равномерно сходится на — произвольный степенной ряд <tex> [a; b] a_k \in \mathbb{C}, z </tex>, — комплексная переменная <tex> S(x) = \sum u_n(x) ] </tex>. Тогда или <tex> [ a_k \intin \limits_mathbb{aR}^{b} S(x) dx = ; z, z_0 \sum_{n=1}^{+in \infty} \int\limits_mathbb{aR}^{b} u_n(x) dx ] </tex>}}
}}
=== Признак Дирихле Теорема о равномерной сходимости функционального и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> (A) = \sum a_n(xz - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда: 1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) b_n</tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(xz_0, r) } </tex> 2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> x (A) </tex> — непрерывна.|proof=(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]] <tex> z \in X \overline{B(z_0, r)} </tex> <tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex> <tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex>— абс. сх.
(2) фиксируем <tex> b_nz \in B(xz_0, R) </tex> монотонна по ; Возьмём <tex> n r : |z - z_0| </tex> и равномерно сходится к r <tex> 0 R </tex>
}}
=== Метод суммирования Абеля Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ==={{ТеоремаЛемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \sum a_n f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex> сходится. Рассмотрим функцию Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x+ iy) = }, \sum a_n operatorname{Im}{f(x^n + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex>. Тогда и выполнены соотношения: <tex> \sum a_n frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \lim_frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex> <tex> \frac{\partial F_1}{x \to 1 partial y} (x_0, y_0) = - 0\frac{\partial F_2}{\partial x} f(xx_0, y_0) </tex> (уравнения Коши-Римана) |proof=Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}
=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R ; f'(z) = \ sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> [Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]|proof=<tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex> <tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex> Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex> Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex> <tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex> <tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex> <tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}
=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>
1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} ; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>
1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) ; \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>
1.4) <tex> (\mathrm{exp}(z + wx) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm'|_{expx = 0}(w) = 1 </tex>
{{Теорема|statement=<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z+ w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) ≠ 0, </tex>|proof=<tex> \ sum \forall frac{z ^n}{n!} \in cdot \sum \mathbbfrac{w^k}{Ck!} </tex>
<tex> \sin x sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \mathrmsum_{expk = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(ixk - l) - !} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \mathrmfrac{expz^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k -ixl)!}{2i} = </tex>
<tex> = \cos x sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \mathrmsum_{l = 0}^{exp+ \infty}(ix) \frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \mathrminfty} \frac{w^n}{expn!}) = (-ix\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{2l!} ) </tex>}}
* Следствие: <tex> \overline{\mathrm{exp}(izz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z}) </tex>
2.1) <tex> \cos(z) sin x = \sum_frac{n=0}^\mathrm{+\inftyexp} (ix) -1)^n \fracmathrm{z^{2nexp}(-ix)}{(2n)!2i} </tex>
2.2) <tex> \sin(z) cos x = \sum_frac{n=0}^\mathrm{+\inftyexp} (-1ix)^n + \fracmathrm{z^{2n - 1exp}}{(2n - 1ix)!}{2} </tex>
2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex> 2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex> 2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>
<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>
<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>
2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>
<tex> (\cosfrac{T(x) + T(-x)}{2})^2+ (\frac{T(x) + \sin- T(-x)}{2i})^2= T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>
2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} </tex>
<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1-}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x)- 1}{ix} + \frac{i \sin(x)} = 0 {ix}) </tex>
-----<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>
<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \sin\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... - \ldots \end{cases}</tex>
<tex> \cos(x) = 1 - sum a_k \frac{x^2}{2} + ...to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> |x| < 1: \ (1 + to \sum a_k \cdot x)^\alpha k = 1 + \alpha f(x + \frac{\alpha (); \alpha - 1)}lim_{2} x^2 + ... </tex> <tex> |x| < 1: \ \frac{1}{to 1-x0} = 1 + x + x^2 + ... </tex> <tex> |x| < 1: \ \lnf(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... S </tex>
=== Единственность производной ===
=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>
Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>
Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) + f'(a) \cdot h + o(h)</tex>
<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>
<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].
<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}
=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>
<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа
// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка
<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>
<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>
<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}
=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = c_A \le C_A|| x || </tex>, где <tex> c_A C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)|proof=<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально <tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex> <tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex> <tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex> <tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex> <tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>, ; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:
1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>
2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>
(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>
<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>
<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)(f(a + h) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>
<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>
<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>
<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.
<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>
2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>
Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>
<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
}}
{{Теорема
|statement=
}}
{{Теорема
|statement=
}}
* Замечание 1:
Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>
* Замечание 2:
Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>
Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>
и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка
Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>
=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> a k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \alpha: frac{r!}{k!} a^{k} </tex>|proof=Индукция по <tex>r</tex> <tex> r = 1 </tex> <tex> k = (0, 0, \alphaldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots) ; a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex> <tex> r = r+ 1 </tex> <tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex> <tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \alphasum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} a\cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m} + 1} = </tex> <tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\alphabeta_m} </tex>; <tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс <tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1
<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>
* Замечание 2
<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>
<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=
<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>
<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>
Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r+ 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}
=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть
<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>
<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>
<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>
<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>
2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>
<tex>(2)</tex>
<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}
=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:
1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;
2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;
3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=
Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>
Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>
Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)
Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>
Само доказательство:
<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>
По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).
<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}
=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:
<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>
<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>
<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>
? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>
<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>
<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>
<tex> II \Rightarrow I </tex>
<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>
<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>
<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>
Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''{{Теорема|statement=Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>) |proof=Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.}}'''Теорема Ролля:'''{{Теорема|statement=Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>. Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.|proof=Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно. Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.}} === Лемма об оценке квадратичной форме формы и об эквивалентных нормах ==={{Утверждение|statement=1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> <br>2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.|proof=1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex> (Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>) <tex> x = 0 : \text{ok} </tex> <tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> <tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex> 2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.) <tex> x = 0 : \text{triv} </tex> <tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>}}
=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).
2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).
3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.
4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>
Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>
<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>
Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума
<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>
<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>
<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>
<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}
=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>
<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>
<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>
<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>
2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>
<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>
// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.
* Замечание
1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное
2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?
<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>
при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>
<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>
Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)
Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>
Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>
<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>
<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>
В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.
На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>
<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]
<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>
<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>. Тогда:
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>
2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>|proof= 1) <tex> r = 1 </tex> <tex>F(O) = O' </tex> — открытое Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex> Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое. * <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны. <tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex> <tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex> <tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex> * <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы. Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex> <tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex> <tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex> Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex> <tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex> <tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex> <tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex> 2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}
=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, ; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m), \ ; x_0 \in O, \ ; \det F'(x_0) \neq ne 0 </tex>. Тогда <tex> \exists U(x_0): \ E F |_U </ tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).|proof=Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — диффеоморфизмобратима [так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам] <tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией. <tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex> <tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex> <tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex> <tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex> <tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex> <tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание
<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.
<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле
=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>
<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>
Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.
<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>
<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>
<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>
<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>
<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>
<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>
<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>
<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}
=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.
По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>
<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация
<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.
<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.
<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} lambda :=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\\ & ... & \ \\\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}-(f'_y(a))(\endPhi'_y(a))^{pmatrix-1} </tex>
}}
=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}
=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} === Равномерно сходящийся ряд ===\gamma [a, b] \subset \mathbb{{ОпределениеR}^m </tex>|definitionproof=Последовательность функций <tex> f_1| \int_a^b \sum V_i (x\gamma(t)), f_2\cdot \gamma{'}_i(xt), dt | \le \int_a^b |... , f_n| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(xt) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = } \lim_sqrt{n \to sum \inftygamma_i^{'2} f_n(xt) } dt = \ int_a^b |V(x \in X gamma(t)) </tex> и для любого числа <tex> | \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(cdot |\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |fgamma{'}(x) - f_n(xt) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> le max_{x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_nL_{\gamma}} (V(x) ) \cdot \int_a^b |\rightrightarrows fgamma{'}(xt) dt| </tex>. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}
=== Признак Абеля равномерной сходимости Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Радиус сходимости степенного ряда Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===http{{Теорема|statement=Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение: 1) V потенциально в <tex> O </tex> 2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </schooltex>) 3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>|proof=<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-collection.edu.ruЛейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]] <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно <tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </catalogtex> <tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </restex> <tex> 3 \Rightarrow 2 </e7fcbdcctex> — очевидно <tex> \gamma := \gamma_{2-1e1d} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-438f}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} -b821\int_{\gamma_2} </tex> <tex> 2 \Rightarrow 1 </tex> Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex> Возьмём как-dbbe69c37389нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </viewtex> <tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?
Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} =V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} =V_i; \ i = Формула Адамара ===http://ru2..wikipedia.orgm </wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (в других местах бредtex>)
<tex> \sinf(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(zx) := \mathrmint_{Im\gamma_h \gamma_x}(\mathrmsum V_i dx_i - \int_{exp\gamma_x}(z)) \sum V_i dx_i = </tex>
<tex> = \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \cosint_0^1 V_1(zx_1 + th, x_2 ... x_m) h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \mathrmin [0, 1] </tex> <tex> \frac{Ref(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}(\mathrm{exph}= V_1(zx_1 + \Theta h, ...)\to V_1(x) </tex>
}}
=== Отображение, бесконечно малое в точке Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ==={{ОпределениеЛемма|definitionstatement=Пусть <tex> \varphif: [a; b] \ E times [c; d] \in to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^m b f'_y(x, y) dx </tex>.|proof=<tex> \frac{\to Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \mathbbfrac{f(x, y + h) - f(x, y)}{Rh}dx = \int_a^l b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex>зависит от <tex> x, y </tex> <tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a , b] \in E times [c, d] </tex>. <tex> \varphi forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — бесконечно малое при равномерная непрерывность <tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x , y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \to a Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>, если <tex> \lim le \int_a^b | f'_y(x, y + \varphiTheta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \mathbb{O}_l epsilon(b - a) </tex>. ( <tex> \mathbb{O}_l le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex> — <tex> l | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex>-мерный ноль)— определение предела.
}}
=== o(h) при h->0 Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \varphi: \ frac{\mathbbpartial V_i}{R\partial x_j}^m = \to frac{\mathbbpartial V_j}{R\partial x_i}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h*) , \ i, j \in [1 : m] </tex> при |proof=<tex> h \to 0 f </tex>— потенциал, если обе части <tex> (*) = \frac{\varphi(h)partial^2 f}{||h||\partial x_i \partial x_j} </tex> (— бесконечно малая при непр., т.к. <tex> h \to 0 V </tex>.— гладкое)
}}
<tex>f(x+h):= \int_{\gamma} \sum V_i dx_i =f</tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x- A))\cdot(x_1 - A_1)+Ah... + V_m(A +ot(hx - A)), h\to\mathbb{O}_ncdot (x_m - A_m)dt </tex>,
}}
=== Производный оператор Лемма о гусенице ==={{ОпределениеЛемма|definitionstatement=Оператор Пусть <tex> A \gamma: [a, b] \to O </tex> из определения производной называется производным оператором отображения . Тогда существуют дробление <tex> f a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.|proof=<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex> <tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex> <tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex> Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex> <tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в точке <tex> x (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex> <tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}
=== Дифференциал отображения Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ==={{ОпределениеЛемма|definitionstatement=Величина Пусть <tex>f'\gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (xa), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения . Тогда <tex>f\int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.|proof=Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> <tex> \forall k </tex> в точке <tex>xB_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex> <tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, соответствующим приращению t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>h Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex> в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и обозначается т.д. <tex>df\int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x,h(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1}))</tex> или <tex>d_x f\int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(h\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0))</tex>.
}}
* Замечание
<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex> === Матрица Якоби Лемма о похожести путей, близких к данному ==={{ОпределениеЛемма|definitionstatement=Пусть отображение <tex>f\gamma:D[a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.|proof=Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subsetO </tex> для <tex> \gamma </tex> <tex> \mathbbgamma[t_{k - 1}, t_{Rk}^n] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex> <tex> \exists \delta_k > 0 : \todelta_k = dist(\mathbbgamma[t_{Rk - 1}^m, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex> дифференцируемо в точке <tex>x\indelta := \operatornamemin_{Int1 \le k \le n} D\delta_k </tex>. Матрица оператора <tex>f'A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x)< \delta \} \subset B_k </tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f\forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> в точке — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex>x(\{B_k\}, \{t_i\}) </tex>— гусеница реал. похож.путей
}}
=== Частные производные Равенство интегралов по гомотопным путям ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex> fV </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: D [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \subset int\mathbblimits_{R\gamma_0}^n \to sum V_i dx_i = \int\mathbblimits_{R\gamma_1}, \ x sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.|proof=<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \in gamma_u(t) = \operatorname{Int} DGamma(t, u), \ k u \in [0, 1 : n] </tex>. Производная <tex> \fracPhi(u) = \int_{\partial fgamma_u}{\partial e^k} (x) sum V_i dx_i </tex> (где . Проверим, что <tex> e^k \Phi </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции локальная постоянная <tex> f (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> по при <tex> k u \in W(u_0) : \Phi </tex>-ой переменной в точке — постоянна) <tex> x \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> и обозначается ещё — равномерно непрерывна. <tex> D_k f\forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (xt_1, u_1), (t_2, u_2) \ D_in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{x_kmatrix} f(x), |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \ f'_end{x_kmatrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(xt_1, u_1)- \Gamma(t_2, \ u_2)| < \frac{\partial fdelta}{\partial x_k2} (x) </tex>.
}}
=== Производная по вектору, по направлению Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} O </tex>— односвязная область, <tex> x \in Int(D) V </tex>, — локально потенциальное поле в <tex> h \in \mathbb{R}^n O </tex>. Предел Тогда <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} V </tex> называется производной функции потенциально.|proof=<tex> f V </tex> по вектору — потенциально <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f\Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(xb) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex> или По предыдущей теореме: <tex> \fracint_{\partial fgamma}\sum V_i dx_i = \int_{\partial hgamma_1}(x) \sum V_i dx_i </tex>— гомотопия пост. Если пути <tex> |h| = 1 \gamma_1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}
Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально. === Градиент Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex>f:D\subsetint\mathbblimits_0^{R\pi/2}\cos^n x dx \underset{n\to+ \mathbbinfty}{R\sim},x\insqrt{\frac{2}{n}} \int\operatornamelimits_0^{Int+\inf}De^{-t^2} dt </tex>. Если существует такой вектор |proof= Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: 1) <tex>a\inint\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\mathbbfrac{R1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>, что Доказывается заменой <tex>f(\cos^n{x+h)} =fe^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143) 2) Доказываем, что x)+— точка максимума для <tex>\ln{\langle acos{x}}</tex>,hвместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\ranglefrac{nx^2}{2}+o(hx^2),h\to\mathbb{O}_n</tex>и показываем, то функция что это <tex>fo(x^2)</tex> называется '''дифференцируемой''' не мешает подставить замену в точке интеграл. 3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.
}}
=== Частная производная второго порядка, k-го порядка Лемма о локализации (в методе Лапласа) ==={{ОпределениеЛемма|definitionstatement=ПредположимПусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, что <tex> r - a \in \mathbb{R} f(x) > 0 </tex> и частные производные порядка на <tex> r - 1 (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> уже определеныстрого монотонно убывает, непрерывна. Пусть Тогда <tex> i_1, ... , i_r \forall c \in [1 : n](a, b) \ \int\limits_a^b f : D (x) e^{A \subset varphi(x)} \mathbbunderset{R}^n A \to + \mathbbinfty}{R\sim}, \ int\limits_a^c f(x ) e^{A \in D varphi(x)} </tex>. Частная производная функции |proof=<tex> \int_{c}^{b} f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, ..., i_r b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex> в точке <tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x </tex> определяется равенством <tex> D_)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{i_1, ..., i_rA \varphi(x)}\int_a^r {\frac{c}{2}} f(x) dx = D_e^{i_r} A \varphi(D_\frac{i_1, ..., i_c}{r - 12})}\int_a^{r-1\frac{c}{2}} f)(x) dx </tex>, если правая часть существует.// последняя экспонента с большим показателем
}}
=== Классы функций $C^k(E)$ Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов === {{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Множество функций, Пусть <tex> r f > 0 </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D (a; b) </tex> пространства , непрерывна, <tex> \mathbb{R}int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^n q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex>непрерывна, строго убывает, обозначается <tex> C^{\varphi(a) - \varphi(rt)} \sim c(Dt - a) ^p, \ p > 0 </tex> или . Тогда <tex> C\int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^r {\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(D\frac{q + 1}{p}) </tex>. По определению |proof= * В доказательстве используется прием: при <tex> C^q > 1, p > 0, A > 0, s > 0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на в интеграле <tex> D \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex> функций. Через * вводим замену <tex> Cu = At^{p, t = (\inftyfrac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1} (D) <}{pA^{1/tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D p}}</tex> функций.}}
1) <tex dpi="150"> f\forall{c\in(xa, b) = }\ \sum_forall{(k) \leqslant rvarepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0} \frac\int\limits_a^c{ffe^{(k)A\varphi} (a) }\le \int\limits_a^b{fe^{k!A\varphi} } \le (x - a)^k 1 + \sum_{(kvarepsilon) = r + 1} \fracint\limits_a^c{ffe^{(k)} (a + A\theta(x - a))varphi}{k!} (x - a)^k </tex>(следствие из теоремы о локализации)
2) <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_forall{(k) \leqslant rvarepsilon > 0} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_exists{(k) = r + 1A_0} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}forall{k!A > A_0} h^k </tex>
<tex dpi="150"> f(x + h1-\varepsilon) = \sum_frac{1}{pA^{(k) \leqslant rfrac{q+1}{p}}} \Gamma(\frac{f^q+1}{(k)p} (x)\le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p}dt \le \frac{k!1} h{pA^k {\frac{q+ o1}{p}}}\Gamma(|h|^r), \ h \to \mathbbfrac{q+1}{Op}_n )</tex>(следствие из приема выше. Да, читается ужасно)
Выбираем окрестность точки <tex dpi="150"> f(x a: [a; a+ h) = \sum_{(k) s]</tex> и <tex>\leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt varepsilon</tex>такое, что
<tex dpi="150"> f(x + h) = 1-\sum_{l=0}^{r} varepsilon < \frac{1}{l!} d^l f\varphi(x, ha) + - \frac{1varphi(t)}{c(r+1t-a)!^p} d^{r + < 1} f(x + \theta h, h) varepsilon</tex>
<tex dpi="150"> \int\limits_a^b f(x, yt) = \sum_{l=0}e^r \frac{1}{l!} A\sum_{\nu = 0}^{lvarphi(t)} C_l^{dt \nu} \frac{le (1+\partial^l f(x^0, y^0varepsilon)}{\partial x^{int\nu} \partial ylimits_a^{l - \nu}a+s} L(x t- xa)^0)q \cdot e^{A\nu} varphi(y - y^0a)} \cdot e^{l - \nu} + o(A(\sqrt{varphi(x - x^0a)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ varphi(x , yt) } dt \to (x^0, y^0) le</tex>
По утверждению 2 это меньше или равно <tex> df\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a) = f'_} \frac{x_11}{p(acA) dx_1 ^{\frac{q + ... 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + f'_1}{x_mp}(a)dx_m ]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.
Используя другие части неравенства, находим, что <tex> d\int\limits_a^2fb f(at)e^{A\varphi(t) = d} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(df1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA) = f''_^{\frac{x_1, x_1q + 1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2p}}} dx_1 dx_2 \Gamma(\frac{q + f''_1}{x_2, x_1p} dx_2 dx_1 + ... )]</tex>.
}}
=== Норма линейного оператора Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===Напомним, что норма в векторном пространстве {{Теорема|statement=Пусть <tex> X f </tex> над непрерывна на <tex> \mathbb{R} [a; b] </tex> — функция . Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) <tex> p: X P_n(x), \to \mathbb{R}_+ n = 1, 2 ... </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (что <tex> p\forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.|proof=<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = 0 [a_1, b_1] </tex> тогда и только тогда, когда // Можно считать <tex> x \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0 , 1] \end{matrix} </tex>), положительная однородность ( <tex> p\tilde f(x) = \lambda begin{cases} f(x) = |, x \in [a, b] \\lambda| pf(a), x\in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex> Заметим, где что: <tex> \lambda int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex> — скаляр), неравенство треугольника ( <tex> p\varphi (x + yt) \leqslant p= ln(1 - (x- t) + p(y^2); \ max \varphi </tex>). Аналогично для матриц (там — достигается при <tex> \lambda \in \mathbb{R} t = x </tex>).{{Определение|definition=Пусть <tex> X\varphi(t) \sim -(x - t)^2, Y t \to x </tex> — нормированные пространства <tex> \varphi''(оба вещественные или оба комплексныеx)= -2, <tex> A: X \to Y \varphi(x) = 0 </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex> называется величина <tex> || A || = \undersetsqrt{\frac{||n}{\pi}} Q_n (x||_X ) \leqslant 1}to f(x)_{x \supin [a_1, b]} ||Ax||_Y , \ n \to +\infty </tex>.
}}
* Замечание
=== ПоложительноФормула Стирлинга для Гамма-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма функции ==={{Теорема|statement=<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>|proof=<tex> \Gamma(x + 1) =\int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt = Диффеоморфизм _{t =ux; \ dt =xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du =x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{Определение-x(u - \ln u)} du \sim </tex>|definition// <tex> \varphi(u) =-(u - \ln u) </tex>Отображение // <tex> F: O \subset varphi' = -(1 - \mathbbfrac{R1}^m {u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex> // <tex> \to varphi'' = -\mathbbfrac{R1}{u^m 2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>, где <tex> O \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в нуле, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}
<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex>
=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ====== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m =Определения и факты ===== Относительный локальный максимум[[Участник:Yulya3102/Матан3сем/Определения|Перемещено, минимум, экстремум ====== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ====== Кусочно-гладкий путь ====== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ====== Потенциальное векторное поле ====== Потенциал векторного поля ====== Похожие пути ====== Локально-потенциальное векторное поле ====== Интеграл локальноа то из-потенциального векторного поля по произвольному пути ====== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ====== Односвязная область ===за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах]]
