Решение уравнений в регулярных выражениях

Решение уравнений в регулярных выражениях

Пусть [math]X[/math] — некий язык, для которого выполняется равенство [math]X = \alpha X + \beta [/math], где [math]\alpha,\,\beta[/math] — некие регулярные выражения над неким алфавитом [math]A[/math].

Утверждение:

Пусть уравнение имеет вид [math] X = \alpha X + \beta \Rightarrow \, 1)[/math] если [math]\varepsilon \notin \alpha [/math], тогда [math] \alpha^{*} \beta[/math] — единственное решение [math]2)[/math] если [math]\varepsilon \in \alpha [/math], тогда [math] \alpha^{*}( \beta + L)[/math] — решение для [math]\forall L[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math] 1) [/math] Пусть [math]\varepsilon \notin \alpha [/math]. Тогда [math]\forall i: [/math] выражение [math]\alpha^{i} \beta \subset X [/math] для [math]\forall X[/math], тогда [math] \alpha^{*} \beta \subset X [/math]. Пусть существует [math] z \in X,\, z\notin \alpha^{*} \beta[/math] такой, что [math] z [/math] — самое короткое; [math]z=z_\alpha z', [/math] где [math]z_\alpha \in \alpha [/math]. Тогда [math] z_\alpha \notin \varepsilon \Rightarrow z'[/math] — короче [math]z [/math]. Следовательно [math] z' \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow X = \alpha^{*} \beta [/math]. [math] 2)[/math] Пусть [math] \varepsilon \in \alpha[/math]. Выберем в качестве [math]L[/math] любой язык и предположим, что [math] \alpha^{*}( \beta + L) [/math] — решение. Тогда [math] \alpha^{*}( \beta + L) [/math] подходит в [math]X = \alpha X + \beta[/math]. Следовательно, для него выполняется: [math] \alpha^{*} ( \beta + L ) = \alpha \alpha^{*} ( \beta + L ) + \beta \alpha^{*} \beta + \alpha^{*} \alpha [/math] [math]= \alpha^{+} \beta + \alpha^{*} L + \beta [/math] [math]= \alpha^{*} \beta + \alpha^{*} L [/math] [math]= \alpha^{*}( \beta + L) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Решение системы уравнений в регулярных выражениях

Пусть система уравнений имеет вид

[math] \begin{cases} \alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \dots + \alpha_{1n} X_n + \beta_1 = X_1 \\ \alpha_{21} X_1 + \alpha_{22} X_2 + \dots + \alpha_{2n} X_n + \beta_2 = X_2\\ \dots\\ \alpha_{n1} X_1 + \alpha_{n2} X_2 + \dots + \alpha_{nn} X_n + \beta_n = X_n \\ \end{cases} [/math]

Метод решения

Выразим [math]X_1[/math] из первого уравнения и подставим во второе уравнение: [math] X_2 = ( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) X_2 + \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} X_3 + \dots + \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} X_n + \beta_2[/math].

Пусть [math] a =( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) [/math], [math] b =\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} X_3 + \dots + \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} X_n + \beta_2 [/math], тогда уравнение примет вид [math]X_2=a X_2 + b[/math]. Его решением будет [math]a^{*} b[/math]. Подставим в следующее уравнение выраженный [math]X_2[/math].

Далее выполняя схожие итерации получим уравнение [math]X_n = a' X_n + b'[/math], где [math] a'=f( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ),\, b'=g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ) [/math], тогда [math]X_n= f^{*}( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )[/math].

Далее подставляя в полученные в ходе итераций уравнения найденный [math] X_i [/math], обратной прогонкой найдем [math]X_1 \dots X_{n-1} [/math].