Представление вещественных чисел

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой.

Определение:

Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754.

При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, 0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное.

Нормальная форма и нормализованная форма

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10⁰, 0,001×10⁻¹, 0,01×10⁻², 0,1×10⁻³), поэтому распространена также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0. Так как старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен «1», то при записи мантиссы числа в эвм старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого свойства нет.

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения NaN (Not a Number, не число) и +/-INF (Infinity, бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел.

Тип	Диапазон	Мантисса	Байты
Real	2,9×10-39..1,7×1038	11-12	6
Single	1,5×10-45..3,4×1038	7-8	4
Double	5,0×10-324..1,7×10308	15-16	8
Extended	3,4×10-4932..1,1×104932	19-20	10

Число половинной точности

Число́ полови́нной то́чности  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину компьютерного слова (в случае 32-битного компьютера — 16 бит или 2 байта). Диапазон значений ± 2⁻²⁴(5.96E-8) — 65504. Приблизительная точность — 3 знака (10 двоичных знаков, log₁₀(2¹¹)).

Знак
	Экспо- нента					Мантисса
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
15				8				7				0

Число одинарной точности

Число́ одина́рной то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в компьютерная памяти одну ячейку (машинное слово; в случае 32-битного компьютера — 32 бита или 4 байта). Как правило, обозначает формат числа с плавающей точкой стандарта IEEE 754.

Знак
	Экспонента								Мантисса
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
31				24				23				16				15				8				7				0

Число двойной точности

Число́ двойно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти две последовательных ячейки (компьютерных слова; в случае 32-битного компьютера — 64 бита или 8 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой стандарта IEEE 754.

Знак
	(11 бит) Экспонента											(52 бита) Мантисса
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
63				56				55				48				47				40				39				32				31				24				23				16				15				8				7				0

Число четверной точности

Число́ четверно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре последовательных ячейки (компьютерных слова; в случае 32-битного компьютера — 128 бит или 16 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой binary128 стандарта IEEE 754.

Формат числа четверной точности Бит знака: 1

Длина значения экспоненты: 15

Мантисса: 112

Cсылки

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятой
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Число
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_половинной_точности
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_одинарной_точности
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_двойной_точности
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_четверной_точности