Изменения
→Вставка точки: подправлены О-шки
В статье описан алгоритм, требующий <tex>O(\log^2{n})</tex> времени на добавление/удаление точки.
== Левая и правая выпуклые оболочки ==
Определим левую (правую) выпуклую оболочку множества точек <tex>P</tex>, как выпуклую оболочку множества <tex>P \cup \{\infty_+\}</tex> <tex>(P \cup \{\infty_-\})</tex>, где <tex>\infty_- = (-\infty, 0), \infty_+ = (+\infty, 0)</tex>. Тогда задачу можно свести к поддержанию отдельно левой и правой выпуклых оболочек. Далее будем Будем рассматривать только динамическое поддержание левой оболочки (далее, для краткости, будем называть её просто выпуклой оболочкой). Заметим также, что точки вдоль выпуклой оболочки отсортированы по ординате.
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
== Объединение двух выпуклых оболочек ==
Теперь, когда отсортированные точки хранятся в структуре, поддерживающей эффективный поиск, мы можем воспользоватся идеями [[Целочисленный двоичный поиск|бинарного поиска ]] для нахождения моста. Для этого необходим критерий спуска, по которому мы будем определять подотрезок, до которого нужно сузить задачу, имея точки <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, определяющие секущую к выпуклым оболочкам множеств <tex>A</tex> и <tex>C</tex> . В Рассмотрим дополнительно 4 точки: <tex>p^{+}</tex> {{---}} следующая за <tex>p</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>A</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>p_{y}^{+} > p_{y}</tex> и ордината <tex>p_{y}</tex> {{---}} наименьшая. <tex>p^{-}</tex> {{---}} предыдущая <tex>p</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>A</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>p_{y}^{-} < p_{y}</tex> и ордината <tex>p_{y}</tex> {{---}} наибольшая. <tex>q^{+}</tex> {{---}} следующая за <tex>q</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>C</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>q_{y}^{+} > q_{y}</tex> и ордината <tex>q_{y}</tex> {{---}} наименьшая. <tex>q^{-}</tex> {{---}} предыдущая <tex>q</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>C</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>q_{y}^{-} < q_{y}</tex> и ордината <tex>q_{y}</tex> {{---}} наибольшая. Тогда в зависимости от взаимного расположения выпуклых оболочек вектора <tex>\overrightarrow{qp}</tex> и секущей имеем точек <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> можно определить, какой из 9 случаев рассматривать, а именно: :a) Все точки <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> расположены справа от вектора <tex>\overrightarrow{qp}</tex> (точка <tex>t</tex> находится слева (справа) от вектора <tex>\overrightarrow{qp}</tex>, если [[Предикат "левый поворот"|предикат "левый поворот"]] для точек <tex>q</tex>, <tex>p</tex>, <tex>t</tex> положительный (aотрицательный)) {{---}} найден мост. :b) <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} справа, <tex>q^{-}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :c) <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} справа, <tex>q^{+}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :d) Как в случае b, только слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> находится точка <tex>p^{+}</tex> :e) Как в случае c, только слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> находится точка <tex>p^{-}</tex> :f) <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} справа, <tex>p^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :g) <tex>p^{+}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} справа, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :h) <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} справа, <tex>p^{+}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :i). <tex>p^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} справа, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> Для случаев (a-h) на картинках красным показано, какие части выпуклых оболочек могут быть отброшены. Случай же i немного сложнее.
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: Case_a.png|thumb|300px320px|center|a. Касательная найдена]]|[[Файл: Case_b.png|thumb|300px320px|center|b. Может быть отброшена часть C после q, а также часть A перед p]]|[[Файл: Case_c.png|thumb|300px320px|center|c. Может быть отброшена часть C перед q, а также часть A перед p]]
|
|}
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: Case_d.png|thumb|300px320px|center|d. По аналогии со случаем b]]|[[Файл: Case_e.png|thumb|300px320px|center|e. По аналогии со случаем c]]|[[Файл: Case_f.png|thumb|300px320px|center|f. Может быть отброшена часть C после q, а также часть A перед p]]
|
|}
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: Case_g.png|thumb|300px320px|center|g. Только часть C после q может быть отброшена]]|[[Файл: Case_h.png|thumb|300px320px|center|h. По аналогии со случаем hg]]|[[Файл: Case_i.png|thumb|300px320px|center|i. В этом случае нельзя сразу сказать, какие части A и C могут быть отброшены. Случай дробится на два]]
|
|}
Рассмотрим подробно случай i. Пусть <tex>m</tex> {{---}} прямая, разбивающая <tex>P</tex> на <tex>A</tex> и <tex>C</tex>. Пусть также <tex>l_p</tex> и <tex>l_q</tex> {{---}} касательные к выпуклым оболочкам в точках <tex>p</tex> и <tex>q</tex> соответственно. Если <tex>s</tex> {{---}} точка пересечения <tex>l_p</tex> и <tex>l_q</tex> лежит ниже прямой <tex>m</tex>, то точка пересечения моста и выпуклой оболочки <tex>A</tex> может лежать в треугольнике, образованном прямыми <tex>l_p</tex>, <tex>l</tex> и <tex>m</tex>, или выше <tex>p</tex>. Тогда можем удалить часть <tex>C</tex> ниже <tex>q</tex> (см. рис. i1). Случай, когда <tex>s</tex> лежит выше <tex>m</tex>, аналогичен (см. рис. i2).
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: Case_i1.png|thumb|300px320px|center|i1. Точка пересечения лежит ниже прямой m]]|[[Файл: Case_i2.png|thumb|300px320px|center|i2. Точка пересечения лежит выше прямой m]]
|
|}
Итак, на каждом шаге, мы или нашли ответ, или уменьшили размер <tex>A</tex> и/или <tex>C</tex> в два раза, следовательно нахождение моста работает за <tex>O(\log{n})</tex>.
== Объединение левой и правой выпуклой оболочки ==
Выписываем в порядке обхода вершины из левой выпуклой оболочки, затем выписываем с конца вершины из правой выпуклой оболочки. У них может оказаться от одной до двух общих вершин на концах (две в случае горизонтального ребра снизу/сверху), эта проблема решается путем извлечения "совпадающих" точек в момент обратного обхода правой выпуклой оболочки.
== Операции ==
=== Получение выпуклой оболочки ===
Научимся восстанавливать выпуклую оболочку по дереву, описанному выше. Для этого рассмотрим более общую задачу: для данной вершины дерева <tex>v</tex> и отрезка <tex>[l, r]</tex> найти часть выпуклой оболочки, состоящей из точек поддерева с корнем в <tex>v</tex>, ординаты которых лежат в этом отрезке. Это можно сделать следующим обходом:
get_hull(answer, v, l, r)
'''if''' (v.leaf)
'''return'''
a = v.bridge.left.y
b = v.bridge.right.y
'''if''' (l < a)
get_hull(answer, v.left, l, min(a, r))
'''if''' (l <= a '''and''' b <= r)
'''if''' (answer.empty())
answer = answer ++ v.bridge.left
answer = answer ++ v.bridge.right
'''if''' (b < r)
get_hull(answer, v.right, max(l, b), r)
Левый конец моста добавляется только если ответ пустой, иначе он уже был добавлен как правый конец другого моста. Чтобы получить выпуклую оболочку нужно вызвать get_hull([], root, <tex>-\infty</tex>, <tex>+\infty</tex>).
=== Принадлежность точки выпуклой оболочке ===
По аналогии с предыдущим пунктом, сведем запрос к более общему запросу: для данной вершины дерева <tex>v</tex> и отрезка <tex>[l, r]</tex> проверить, принадлежит ли точка <tex>p</tex> части выпуклой оболочки, состоящей из точек поддерева с корнем в <tex>v</tex>, ординаты которых лежат в этом отрезке. Тогда принадлежность точки проверяется вызовом in_hull(p, root, <tex>-\infty</tex>, <tex>+\infty</tex>)
in_hull(p, v, l, r)
'''if''' (v.leaf)
'''return''' '''false'''
a = v.bridge.left.y
b = v.bridge.right.y
'''if''' (l <= a and b <= r)
'''if''' (v.bridge.left == p '''or''' v.bridge.right == p)
'''return''' '''true'''
'''if''' (l < a '''and''' p.y < a)
'''return''' in_hull(p, v.left, l, min(a, r))
'''if''' (b < r '''and''' b < p.y)
'''return''' in_hull(p, v.right, max(l, b), r)
'''return''' '''false'''
=== Вставка точки ===
Вставим точку в дерево, как в обычное сбалансированное дерево поиска. Из-за балансировки После этого необходимо пересчитать мосты для некоторых вершин дерева. В вершине необходимо пересчитать мост, либо если в его поддерево была вставлена вершина, либо если при балансировке в повороте эта вершина была задействована (таких вершин <tex>O(\log{n})</tex> . Мосты в таких вершинах будем пересчитывать при подъеме по дереву после вставки вершины. Глубина дерева могут оказаться неактуальными<tex>O(\log{n})</tex>, поэтому, возвращаясь по пути вверх до корня, будем пересчитывать значит в процессе подъема будут пересчитаны мосты в таких вершинах методом, описанным выше, пользуясь тем, что всё поддерево рассматриваемой вершины уже содержит корректную информациюу <tex>O(\log{n})</tex> вершин. Каждый пересчет моста требует <tex>O(\log{n})</tex> времени, откуда итоговая асимптотика вставки: <tex>O(\log^2{n})</tex>.
=== Удаление точки ===
