Изменения

|statement=Если [[Отношение реберной двусвязности|компоненты реберной двусвязности]] (к.р.д.) [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] <tex>G</tex> [[Укладка графа на плоскости|планарны]], то и сам граф <tex>G</tex> планарен.

Итак пусть граф <tex>G</tex> связен. Рассмотрим связный подграф <tex>T</tex> графа к.р.д. компонент реберной двусвязности графа <tex>G</tex>. Из [[Граф компонент реберной двусвязности|леммы]] и из связности <tex>T</tex> получаем, что <tex>T</tex> &mdash; [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]].

Докажем индукцией по числу вершин в графе <tex>T</tex>, что подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex> состоящий из к.р.д. компонент реберной двусвязности и мостов графа <tex>G</tex> принадлежащих графу <tex>T</tex> планарен (далее будем говорить, что <tex>G'</tex> соответствует <tex>T</tex>).

Если <tex>|VT| = 1</tex>, то граф <tex>T</tex> {{---}} тривиальный граф. Его единственная вершина - это к.р.д. компонента реберной двусвязности графа <tex>G</tex>, которая по условию теоремы планарна.

Положим <tex>G_1</tex> &mdash; к.р.д. компонента реберной двусвязности графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>, a <tex>e</tex> &mdash; мост в <tex>G'</tex> инцидентный <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по условию теоремы, т.к. к.р.д. компоненты реберной двусвязности графа <tex>G'</tex> совпадают с к.р.д. компонентами реберной двусвязности графа <tex>G</tex>. Далее рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> графа <tex>G'</tex>, соответствующий дереву <tex>T\backslash \{G_1\}</tex>. Поскольку <tex>G_1</tex> &mdash; висячая вершина <tex>T</tex>, то <tex>T\backslash \{G_1\}</tex> связен, и, очевидно, также как и <tex>T</tex> является подграфом графа к.р.д. компонент реберной двусвязности <tex>G</tex>. Итак <tex>G_2</tex> планарен по предположению индукции, т.к. <tex>|V(T\backslash \{u\})| = |VT| - 1 = m - 1 < m</tex>.

Из определения ребер дерева к.р.д. графа компонент реберной двусвязности получаем, что графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> соединены в графе <tex>G'</tex> единственным мостом <tex>e \in G'</tex> инцидентным блоку <tex>G_1</tex> в дереве <tex>T</tex>. Поскольку <tex>T = G_1\cup e\cup G_2</tex>, то и <tex>G' = G_1\cup e\cup G_2</tex>. Покажем как из укладок <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> получить укладку <tex>G'</tex>.

Уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>e</tex> в G' (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по [[#l2|лемме II]] это возможно). Если такого ребра <tex>e_1</tex> не существует, значит к.р.д. компонента реберной двусвязности <tex>G_1</tex> &mdash; тривиальный граф. В , в таком случае возьмем любую укладку <tex>G_1</tex> на плоскости. Пусть <tex>u\in G_2</tex> {{---}} вершина инцидентную инцидентная <tex>e</tex>. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex>, так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежная смежную с <tex>u</tex>. Проведем жорднанову кривую, соответствующую ребру <tex>e</tex>, от вершины <tex>u</tex> к инцидентоной <tex>e</tex> вершине графа <tex>G_1</tex> так, чтобы она не пересекалась с укладками <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>. Мы получили укладку графа <tex>G'</tex> на сфере, а значит (по [[#l1|лемме I]]) <tex>G'</tex> планарен, следовательно предположение индукции верно.

Рассматривая в качестве <tex>T</tex> граф к.р.д. компонент реберной двусвязности <tex>G</tex> получаем что <tex>G</tex> - планарен.

'''Замечание.''' В доказательстве теоремы непосредственно указывается способ получения укладки графа <tex>G</tex> из укладок его к.р.дкомпонент реберной двусвязности.