0-1 принцип

Есть два способа проверить сеть из [math]n[/math] компараторов на то, что она сортирующая.

Первый способ

Первый, наивный способ — перебрать все перестановки из [math] n [/math] элементов, пропустить их через сеть и проверить их на то, что они отсортированы. Этот подход потребует [math] O(n! \cdot Comp(n)) [/math] действий, где [math] Comp(n) [/math] — количество компараторов в сети из [math]n[/math] элементов. Это количество можно оценить как [math] n \log^2n [/math] (Сеть Бетчера). Таким образом, получаем асимптотику [math] O(n!n \log^2n) [/math], и при [math]n = 10[/math] проверить сеть очень проблематично.

Второй способ

Второй способ основывается на предположении, что если сеть сортирует все последовательности из нулей и единиц, то сеть является сортирующей. Если мы докажем это, то сможем проверять сеть за [math] O(2^n \cdot Comp(n)) [/math], что намного быстрее.

Доказательство 0-1 принципа

Определение:

Функция [math] f: A \rightarrow B [/math] называется монотонной, если [math] \forall a_1, a_2 \in A : a_1 \leqslant a_2 \Rightarrow f(a_1) \leqslant f(a_2) [/math]

Лемма:

Пусть [math] f: A \rightarrow B [/math] — монотонная. Тогда [math] \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Не теряя общности, предположим что [math] a_1 \ leqslant a_2 [/math]. Тогда [math] f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) [/math]. Также, по монотонности, [math] f(a_1) \leqslant f(a_2) [/math]. Тогда [math] \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) [/math]. То есть, [math] f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) [/math]. Такие же рассуждения можно провести для случая [math] a_2 \lt a_1 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Рассмотрим отображение [math] f: A \rightarrow B [/math] и последовательность [math] a = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) [/math]. Определим [math] f(a) [/math] как последовательность [math] f(a_0), f(a_1), \dots , f(a_{n-1}) [/math], то есть [math] f(a_i) = f(a)_i [/math]

Лемма:

Пусть [math] f: A \rightarrow B [/math] — монотонная, а [math] N [/math] — сеть компараторов. Тогда [math] N [/math] и [math] f [/math] коммутируют, то есть [math] N(f(a)) = f(N(a)) [/math]. Другими словами, неважно, применить сначала [math] f [/math] к [math] a [/math] и пропустить через сеть [math] N [/math], или пропустить через сеть [math] N [/math] последовательность [math] a [/math], а потом применить монотонную функцию [math] f [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольный компаратор [math] [i: j] [/math], сортирующий элементы [math] a_i [/math] и [math] a_j [/math]. Применим его к последовательности [math] f(a) [/math] и рассмотрим элемент с индексом [math] i [/math]. Тогда [math] [i: j]f(a)_i =[/math] [math] [i: j](f(a_0), \dots, f(a_{n-1}))_i [/math] (по введенному выше определению) [math] f([i: j](a))_i = f([i: j](a)_i) [/math] (по определению компаратора и по введенному выше определению) [math] \min(f(a_i), f(a_j)) = f(\min(a_i, a_j)) [/math] (по определению компаратора и по уже доказанной лемме). Таким образом, результат не зависит от того, что мы сделаем с отдельным компаратором сначала: применим монотонную функцию или пропустим его через сеть. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть [math] [i: j]f(a) = f([i: j](a)) [/math] для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (0-1 принцип):

Если сеть компараторов сортирует все последовательности из нулей и единиц, то она сортирующая

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим сеть [math] N [/math], сортирующую в возрастающем порядке: [math] a_0 \leqslant a_1 \leqslant \dots \leqslant a_{n-1} [/math]. Предположим, что есть последовательность [math] a [/math], которую сеть [math] N [/math] не сортирует. Тогда после пропуска [math] a [/math] через сеть [math] N [/math], получим последовательность [math] b [/math], в которой найдется индекс [math] i [/math] такой, что [math] b_i \gt b_{i + 1} [/math]. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \begin{cases} 0, x \lt b_i \\ 1, x \ge b_i \end{cases} [/math] . Очевидно, она монотонная. Заметим, что [math] f(b_i) = 1 [/math], а [math] f(b_{i + 1}) = 0 [/math], то есть [math] f(b) [/math], или [math] f(N(a)) [/math] — не отсортирована. Так как [math] f [/math] и [math] N [/math] коммутируют, [math] N(f(a)) [/math] — также не отсортирована. Но по предположению теоремы, все последовательности из нулей и единиц сеть сортировать умеет, то есть такой последовательности [math] a [/math] не найдется, то есть сеть компараторов является сортирующей.

[math]\triangleleft[/math]

Источники

• Sorting networks
• Wikipedia — Sorting networks
• Дональд Кнут — Искусство программирования — Том 3 — Глава 5.3.4 — стр. 249