Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Определения

Определение:

Соотношение вида [math]F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)[/math] называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Определение:

Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.

Определение:

[math]F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - [/math] дифференциальное уравнение 1-го порядка

Определение:

Решением дифференциального уравнения [math](2)[/math] называется функция [math]y(x) \in C(a,b):[/math] [math]F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0[/math]

Определение:

[math]\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - [/math] уравнение в нормальной форме.

Определение:

Изоклиной ДУ[math](3)[/math] называется кривая определяемая равенством [math]f(x,y)=k[/math], где [math]k - const , tg\alpha = k[/math].

Задача Коши

Определение:

Задача нахождения решения дифференциального уравнения [math]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)[/math], которое удовлетворяет следующим условиям: [math]\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0} \end{matrix}\right.[/math] называется задачей Коши (начальной задачей)

в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на [math]f(x,y):[/math]
[math]f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix} \left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b \end{matrix}\right.[/math]
[math]\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M \gt 0[/math]

Определение:

условие Липшица: [math]\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D[/math] для некоторой константы [math]l \gt 0[/math]

Очевидно, условие Липшица выполняется при условии [math]\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)[/math].

Теорема (Пикар):

Пусть [math]f(x,y)[/math] удовлетворяет условию Липшица и [math]f(x,y) \in C(D)[/math], тогда существует единственное решение задачи Коши [math]y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)[/math], где [math]h = min(a, \frac{b}{M})[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Мамой клянусь. А теперь попытаемся доказать. Переформулируем задачу Коши следующим образом: [math]y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y)dx[/math] Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: [math]y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y_{n-1}(x))dx[/math]. Далее возможны два случая: 1) [math]y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -[/math] решение. 2) [math]f(x, y_{0}) \neq 0:[/math] предварительно докажем, что: [math]a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math] [math]b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math] [math]c) \:\:\: y_{n}(x) \Rightarrow y(x) \:\:[/math] (это типо равномерно сходится) [math]d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math] [math]e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]

[math]\triangleleft[/math]