Изменения

'''Алгоритм D*''' {{---}} алгоритм поиска кратчайшего пути во [[Основные определения теории графов|взвешенном ориентированном графе]], где структура графа неизвестна заранее или постоянно подвергается изменению. Разработан Свеном Кёнигом и Максимом Лихачевым в 2002 году.

Дан [[Основные определения теории графов|взвешенный ориентированный граф]] <tex> G(V, E) </tex>. Даны вершины : стартовая вершина <tex>s_{start}f</tex> и конечная вершина <tex>s_{goal}t</tex>. Требуется после каждого изменения графа <tex>G</tex> уметь вычислять функцию <tex>g(s)</tex> для каждой известной вершины <tex>s \in V</tex>

Функция <tex>g(s)</tex> будет возвращать последнее известное (и самое минимальное) значение расстояния от наименьшую стоимость пути из вершины <tex>s_{start}f</tex> в <tex>s</tex> до . Её значение для алгоритма будет почти аналогичным значению в [[Алгоритм A* | алгоритме A*]], за исключением того, что в данном алгоритме наc интересуют только <tex>g(s)</tex>-значения известных вершин на данной итерации.

* Обозначим множество <tex>Succ(s) \in subseteq V</tex> как множество вершин, исходящих из вершины <tex>s</tex>. * Обозначим множество <tex>Pred(s) \in subseteq V</tex> как множество вершин, входящих в вершину <tex>s</tex>. Ясно, что обязано соблюдаться условие: <tex>Succ(s) \subseteq V</tex> и <tex>Pred(s) \subseteq V</tex>.

Функция <tex>0 \leqslant c(s, s') \leqslant +\infty</tex> будет возвращать стоимость перехода из вершины ребра <tex>(s, s')</tex> в вершину . При этом <tex>c(s, s') = +\infty</tex>. При этом будет тогда и только тогда, когда ребра <tex>(s, s' \in Succ(s)</tex>не существует.

Теперь опишем {{Определение|definition=Будем называть '''rhs-значением''' (англ. ''right-hand side value'') такую функцию <tex>rhs(s)</tex>. Эта функция будет использовать минимальные расстояние из минимальных расстояний от <tex>s_{start}</tex> до вершин, входящих в данную вершины <tex>s</tex>. Потенциально это и которая будет нам давать информацию о возвращать потенциальное минимальное расстояние от <tex>s_{start}f</tex> до <tex>s</tex>.по следующим правилам:

0,& \text{if } s = s_{start} f \\min_\min\limits_{s' \in Pred(s)}(g(s') + c(s', s),& \text{otherwise}

{{Определение|definition=Вершина <tex>s</tex> может быть 3-х видов:* насыщенаназывается '''насыщенной''' (англ. ''locally consistent''), если <tex>g(s) = rhs(s)</tex>* переполнена}} {{Определение|definition=Вершина <tex>s</tex> называется '''переполненной''' (англ. ''locally overconsistent''), если <tex>g(s) > rhs(s)</tex>* ненасыщена}} {{Определение|definition=Вершина <tex>s</tex> называется '''ненасыщенной''' (англ. ''locally underconsistent''), если <tex>g(s) < rhs(s)</tex>}}

Функция [[Эвристики для поиска кратчайших путей|Эвристическая функция]] <tex>keyh(s)</tex>, где <tex>s')</tex> - вершинатеперь должна быть неотрицательная и выполнять неравенство треугольника, возвращает вектор из 2-ух значений т.е. <tex>k_1h(s)</tex>t, <tex>k_2(st)= 0</tex>. * и <tex>k_1h(s, t) = \min(gleqslant c(s), rhs(s)') + h(s', s_{goal}t)</tex>. * для всех <tex>k_2(s) = \min(g(in V</tex> и <tex>s), rhs' \in Succ(s))</tex>.

{{Определение|definition=Будем называть '''ключом''' вершины такую функцию <tex>key(s)</tex>, которая возвращает вектор из 2-ух значений <tex>k_1(s)</tex>, <tex>k_2(s)</tex>. * <tex>k_1(s) = \min(g(s), rhs(s)) + h(s, t)</tex> * <tex>k_2(s) = \min(g(s), rhs(s))</tex>,где <tex>s</tex> - вершина из множества <tex>V</tex>}}Если в конце поиска пути <tex>g(s_{goal}t) = +\infty</tex>, то мы не смогли найти путь от <tex>s_{start}f</tex> до <tex>s_{goal}t</tex> на текущей итерации. Но после следующего изменения графа путь вполне может найтись.

'''Mainfunction'''main(): { initialize() '''Initializewhile'''(); while (true) { '''ComputeShortestPath'true'' computeShortestPath(); <font color="green">// В данный момент мы знаем кратчайший путь из <tex>s_{start}</tex> f в <tex>s_{goal}t.</texfont>.

'''for ''' всех ориентированных ребер <tex>(u; , v)</tex> с измененными весами: { Обновляем результат функции c(u, v) updateVertex(v) Функция инициализации исходного графа устанавливает для всех вершин кроме стартовой вершины <tex>f</tex> значения <tex>g(s)</tex> и <tex>crhs(s)</tex> равными бесконечности. Для стартовой <tex>rhs(f)=0</tex>. Очевидно, что минимальное расстояние от стартовой вершины до самой себя должно быть равным 0, но <tex>g(u; vf)=+\infty</tex>;. Это сделано для того, чтобы стартовая вершина была ненасыщенной и имела право попасть в приоритетную очередь. '''UpdateVertexfunction'''initialize(): <font color="green">// Заведем [[Двоичная куча|приоритетную очередь]] U, в которую будем помещать вершины.</font> <font color="green">// Сортировка будет производиться по функции key(s).</font> U = <tex>v\varnothing</tex> '''for''' s <tex>\in</tex>V rhs(s) = g(s);= <tex>+\infty</tex> } rhs(f) = 0 }U.insert(f, calcKey(f)) Функция <tex>key(s)</tex>. Возвращаемые значения сортируются в лексографическом порядке, то есть сначала сортируется по <tex>k_1(s)</tex>, потом по <tex>k_2(s)</tex> }'''function''' calcKey(s): '''return''' [min(g(s), rhs(s)) + h(s, t), min(g(s), rhs(s))]

Теперь опишем составные элементы подробнееФункция инициализации исходного графа устанавливает для всех вершин кроме стартовой (<tex>s_{start}</tex>) значения <tex>g(s)</tex> и <tex>rhs(s)</tex> равными бесконечности. Для стартовой <tex>g(s_{start})=0</tex>. Очевидно, что минимальное расстояние от стартовой Обновляет данные вершины до самой себя должно быть равным 0, но <tex>rhs(s_{start})=+\infty</tex>в соответствие с данными выше определениями. Это сделано для Также поддерживает инвариант того, чтобы стартовая вершина была ненасыщенной и имела право попасть что в приоритетную очередьочереди U лежат только ненасыщенные вершины. '''Initializefunction'''updateVertex(u): { //Заведем приоритетную очередь '''if''' u <tex>U\ne</tex>, в которую будем помещать вершины. Сортировка будет производиться по функции f <tex>keyrhs(su)</tex>. <tex>U = \varnothing;min\limits_{s' \in Pred(u)}(g(s') + c(s',u))</tex> for '''if''' u <tex>s \in S</tex>U <tex>rhsU.remove(su) = '''if''' g(su) = \infty;</tex> \ne</tex>rhs(s_{start}u) = 0;</tex> U.Insertinsert(<tex>s_{start}</tex>; CalcKeyu, calcKey(<tex>s_{start}</tex>u)); }

{{Теорема|about=О монотонности изменения ключей|statement=В течение выполнения функции '''UpdateVertexComputeShortestPath'''(<tex>u</tex>): { if (<tex>u \ne s_{start}</tex>) вершины, взятые из очереди, монотонно не убывают. <tex>rhs(u) |proof= min_{s' \in Pred(u)}(g(s') + c(s',u));<Доказательство [http:/tex> if (<tex>u \in U</tex>) Uwww.cs.cmu.Remove(u); if (<tex>g(u) \ne rhs(u)<edu/tex>) U.Insert(<tex>u<~maxim/tex>; CalcKey(<tex>u<files/tex>));aij04.pdf] }}

// Функция неоднократно перерасчитывает значение <tex>g(s)</tex> у ненасыщенных вершин {{Теорема|about=О необратимой насыщенности|statement=Если в неубывающем порядке их ключей. Такой перерасчет значения <tex>g(s)</tex> будем называть ''расширением'' вершины. функции '''ComputeShortestPath'''()была взята переполненная вершина, то на следующей итерации она станет насыщенной.|proof=Доказательство [http: { while (U.TopKey() < CalcKey(<tex>s_{goal}</tex>) OR rhs(<tex>s_{goal}) \ne g(s_{goal}</tex>)) u = Uwww.cs.cmu.Pop(); if (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u); for <tex>s \in Succ(u)<edu/~maxim/tex> UpdateVertex(s); else g(u) = <tex>+\infty<files/tex>;aij04.pdf] for <tex>s \in Succ(u) \cup \{u\}</tex> UpdateVertex(s); }

{{Теорема|statement=После выполнения функции '''ComputeShortestPath''' можно восстановить путь из <tex>f</tex> в <tex>t</tex>. Для этого, начиная с вершины <tex>t</tex>, нужно постоянно передвигаться к такой вершине <tex>s'</tex>, входящей в <tex>t</tex>, чтобы <tex>g(s') + c(s',s)</tex> было минимальным, до тех пора, пока не будет достигнута вершина <tex>f</tex>.|proof=Доказательство [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf]}} Таким образом мы описали алгоритм LPA*. Он неоднократно определяет путь вычисляет длину кратчайшего пути между вершинами <tex>s_{start}f</tex> и <tex>s_{goal}t</tex>, используя при этом данные из предыдущих итераций. Очевидно, что в худшем случае (а именно когда все ребра вокруг текущей вершины изменили свой вес) алгоритм будет работать как последовательные вызовы алгоритма А* за <tex>O(n^2 \cdot m \cdot \log(n))</tex>. Улучшим эту оценку с помощью алгоритма D* lite.

'''Примечание''': на практике же такой подход тоже имеет место на плотных графах (или матрицах), так как в среднем дает оценку <tex>O(n \cdot \log(n))</tex>.

== Алгоритм D* (Первая версия) ==Пока что был описан только алгоритм LPA*. Он способен неоднократно определять находит кратчайшее расстояние между начальной и конечной вершинами при любом изменении данного графа. Его первоначальный поиск полностью совпадает с алгоритмом A*, но последующие итерации способны использовать информацию из предыдущих поисков.

Дан [[Основные определения теории графов|взвешенный ориентированный граф]] <tex> G(V, E) </tex>. Даны вершины <tex>f</tex> и <tex>t</tex>. Требуется в процессе движения по кратчайшему пути в графе <tex>G</tex> обновлять значения функции <tex>g(s)</tex> при поступлении новой информации о графе <tex>G</tex>. Теперь на основе LPA* опишем алгоритм D*, который способен определять расстояние между текущей вершиной <tex>s_{start}f</tex>, в которой, допустим, находится курсор/способный к сканированию местности "робот", и конечной вершиной <tex>s_{goal}t</tex> при каждом изменении графа в то время, как наш "робот " движется вдоль найденного пути.

[[Файл:Схема_движения_робота_Dstar.png|350px|thumb|right|Схема движения курсора/"робота " в процессе работы алгоритма D*. Информация о серых клетках ему неизвестна до определенной итерациитех пор, пока они не попадут в его зону обзора. В данном примере зона обзора составляет 1 клетку в 8-ми направлениях.]]

Опишем первую версию алгоритма D*. ОчевидноТак как при движении по кратчайшему пути путь может только сокращаться и происходит изменение только стартовой вершины, что большинство вершин в процессе движения робота остаются неизменными, поэтому мы можем то можно применить алгоритм идею из алгоритма LPA*.

Теперь функция g(s) хранит минимальное известное расстояние от <tex>s_{goal}t</tex> до <tex>s</tex>. Свойства остаются прежними.

[[Эвристики для поиска кратчайших путей|Эвристическая функция ]] <tex>h(s,s') </tex> теперь должна быть неотрицательная и обратно-устойчивая, т.е. <tex>h(s_{start}f,s_{start}f) = 0</tex> и <tex>h(s_{start}f, s) <= \leqslant h(s_{start}f,s') + c(s',s)</tex> для всех <tex>s \in S</tex> и <tex>s' \in Pred(s)</tex>. Очевидно, что при движении робота <tex>s_{start}f</tex> изменяется, поэтому данные свойства должны выполняться для всех <tex>s_{start} f \in SV</tex>.

Дополнительное условие выхода также меняется, т.е. при <tex>g(s_{start}f) = +\infty</tex> путь не найден на данной итерации. Иначе путь найден и "робот " может проследовать по нему.

'''Примечание''': Так же следует отметить, что функция '''Initialize''' не обязана инициализировать абсолютно все вершины перед стартом алгоритма. Это важно, так как в на практике число вершин может быть огромным , и только немногие будут пройдены робот роботом в процессе движения. Так же это дает возможность добавления/удаления ребер без потери устойчивости всех подграфов данного графа.

=== Псевдокод (Первая версия) ===При такой постановке задачи псевдокод не сильно меняется. Но , но функция '''Main''' все-таки претерпевает значительные изменения.

'''CalcKeyfunction'''calcKey(s): '''return ''' [<tex>\min(g(s);, rhs(s)) + h(s_{start};f,s)</tex>;<tex>\, min(g(s); , rhs(s))</tex>];

'''Initializefunction'''initialize(): U = <tex>\varnothing</tex>; '''for ''' s <tex>s \in S</tex>V <tex>rhs(s) = g(s) = <tex>+\infty</tex> <tex>rhs(s_{goal}t) = 0</tex> U.Insertinsert(<tex>s_{goal}</tex>; CalcKeyt, calcKey(<tex>s_{goal}</tex>t));

'''UpdateVertexfunction'''UpdateVertex(u): '''if (''' u <tex>u \ne s_{goal}</tex>) t rhs(u) = <tex>min_\min\limits_{s' \in Succ(u)}(c(u,s')+g(s'));</tex> '''if (''' u <tex>u \in U</tex>) U U.Removeremove(u); '''if ''' g(u) <tex>g(u) \ne rhs(u)</tex>rhs(u) U.Insertinsert(u; CalcKey, calcKey(u));

'''ComputeShortestPathfunction'''ComputeShortestPath(): '''while (''' U.TopKeytopKey() < CalcKeycalcKey(<tex>s_{start}</tex>f) or rhs(f) OR <tex>rhs(s_{start}) \ne g(s_{start})</tex>g(f) u = U.Poppop(); '''if ''' (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u); '''for ''' s <tex>s \in </tex> Pred(u)</tex> UpdateVertexupdateVertex(s); '''else''' g(u) = <tex>+\infty</tex>; '''for ''' <tex>s </tex> <tex>\in </tex> Pred(u) <tex>\cup \{u\}</tex> {u} UpdateVertexupdateVertex(s);

'''Mainfunction'''main(): '''Initialize'''initialize() computeShortestPath(); '''ComputeShortestPathwhile'''(); while (<tex>s_{start} f \ne s_{goal}t</tex>) <font color="green">// '''if ''' (<tex>g(s_{start}f) = <tex>+\infty</tex>) тогда путь на данной итерации не найден.</font> <tex>s_{start}f</tex> = такая вершина s', что <tex>min_\min\limits_{s' \in Succ(s_{start}f)}(c(s_{start}f, s') + g(s'))</tex> Передвинулись вдоль найденного пути и изменили вершину <tex>s_{start}f</tex>;

'''if (если ''' граф изменился) '''for ''' всех ориентированных ребер <tex>(u; , v)</tex> с измененными весами: Обновляем результат функции <tex>c(u; , v)</tex>; updateVertex(u) '''UpdateVertexfor'''(u); for <tex>s </tex> <tex>\in U</tex>U U.Updateupdate(<tex>s</tex>; ''', CalcKey'''(<tex>s</tex>)); ComputeShortestPathcomputeShortestPath(); === Асимптотика ===

==СсылкиАлгоритм D* (Вторая версия) == === Описание ===В первой версии алгоритма была серьезная проблема в том, что для каждой вершины в приоритетной очереди нужно было обновлять ключ суммарно за <tex>O(n \cdot \log(n))</tex>. Это дорогая операция, так как очередь может содержать огромное число вершин. Воспользуемся оригинальным методом поиска и изменим основной цикл, чтобы избежать постоянного перестроения очереди <tex>U</tex>. Теперь эвристическая функция должна поддерживать неравенство треугольника для всех вершин <tex>s,s',s'' \in V</tex>, т.е. <tex>h(s,s'') \leqslant h(s, s') + h(s',s'')</tex>. Так же должно выполняться свойство <tex>h(s,s') \leqslant c^*(s,s')</tex>, где <tex>c^*(s,s')</tex> - стоимость перехода по кратчайшему пути из <tex>s</tex> в <tex>s'</tex>, при этом <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> не должны быть обязательно смежными. Такие свойства не противоречат свойствами из первой версии, а лишь усиливают их. Допустим, что после того, как робот продвинется вдоль найденного пути на предыдущих итерациях, из вершины <tex>s</tex> в <tex>s'</tex>, он обнаружит изменения в графе. Первая компонента ключей <tex>k_1(s')</tex> может уменьшится максимум на <tex>h(s,s')</tex> (по определению ключа). Вторая компонента не зависит от функции h. Аналогично первой версии алгоритма, мы должны уменьшить первую компоненту ключа у всех вершин в очереди U. Очевидно, что <tex>h(s,s')</tex> будет одинаковым для всех вершин из U. Порядок в очереди не изменится, если произвести уменьшение. Следовательно уменьшение можно отложить, тем самым очередь не придется перестраивать на каждой итерации. Так же исходя из нового определения функции <tex>h</tex>, её значение будет всегда меньше, чем разность первых компонент ключей у соседних по приоритету вершин. Таким образом мы можем добавлять h(s,s') ко всем <tex>k_1(s')</tex> у ключей вершин из U. Будем называть <tex>K_m</tex> ключевым модификатором. В нем мы и будет хранить сумму <tex>h(s,s')</tex>, которые нужно добавить ко всем вершинам из U. === Псевдокод ===  '''function''' calcKey(s): '''return''' [min(g(s), rhs(s)) + h(f, s) + <tex>K_m</tex>, min(g(s), rhs(s))]  '''function''' initialize(): U = <tex>\varnothing</tex> <tex>K_m = 0</tex> '''for''' s <tex>\in</tex> V rhs(s) = g(s) = <tex>+\infty</tex> rhs(t) = 0 U.insert(t, CalcKey(t))  '''function''' updateVertex(u): '''if''' u <tex>\ne</tex> t rhs(u) = <tex>\min\limits_{s' \in Succ(u)}(c(u,s')+g(s'))</tex> '''if''' u <tex>\in</tex> U U.remove(u) '''if''' g(u) <tex>\ne</tex> rhs(u) U.insert(u, calcKey(u))  '''function''' computeShortestPath(): '''while''' U.topKey() < calcKey(f) '''or''' rhs(f) <tex>\ne</tex> g(f) <tex>K_{old}</tex> = U.topKey() u = U.pop() '''if''' <tex>K_{old}</tex> < calcKey(u) U.insert(u, calcKey(u)) '''if''' (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u) '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Pred(u) updateVertex(s) '''else''' g(u) = <tex>+\infty</tex> '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Pred(u) <tex>\cup</tex> <tex>\{u\}</tex> updateVertex(s)  '''function''' main(): <tex>s_{last} = f</tex> initialize() computeShortestPath() '''while''' f <tex>\ne</tex> t <font color="green">// if (g(f) = <tex>+\infty</tex>) тогда путь на данной итерации не найден.</font> <tex>f</tex> = такая вершина s', что <tex>\min\limits_{s' \in Succ(f)}(c(f, s') + g(s'))</tex> Передвинулись вдоль найденного пути и изменили вершину <tex>f</tex>. Сканируем роботом какие-либо изменения в графе или убеждаемся, что граф остается прежним. '''if''' граф изменился <tex>K_m = K_m + h(s_{last}, h_{start})</tex> <tex>s_{last} = f</tex> '''for''' всех ориентированных ребер (u, v) с измененными весами: Обновляем результат функции c(u, v) updateVertex(u) computeShortestPath() === Асимптотика === С помощью введения ключевого модификатора <tex>K_m</tex> и отложенного обновления ключей вершин получилось убрать из итерации алгоритма <tex>O(n \cdot \log(n))</tex> операций, которые тратились на обновление очереди <tex>U</tex>. Очевидно, что на основе теорем, приведенных выше, алгоритм использовал <tex>O(2 \cdot n \cdot \log(n))</tex> операций. Итак, нам удалось уменьшить константу в 2 раза, что дает существенный рост производительности на практических задачах. === Пример работы ==={| class="wikitable" |- | style="width:50%;text-align:center;" | [[Файл:Схема_движения_робота_Dstarv2_1.png|400px]] || style="width:50%;text-align:center;" | [[Файл:Схема_движения_робота_Dstarv2_2.png|400px]] |- | style="width:50%;text-align:center;" | Итерации в функции '''ComputeShortestPath''' на исходном графе. || style="width:50%;text-align:center;" | Итерации в функции '''ComputeShortestPath''' после изменения графа. (Второй вызов функции)|} ==Источники информации==

* [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf LPA*]* [http://pub1.willowgarage.com/~konolige/cs225b/dlite_tro05.pdfD* lite]