Типы дифференциальных уравнений

Уравнение с разделенными переменными

Определение:

уравнение вида [math]M(x)dx + N(y)dy = 0 \:\: (1)[/math] называется уравнением с разделенными переменными

Решение: [math](1) \:\: \Leftrightarrow \:\: M(x)dx = -N(y)dy[/math] далее интегрируем правую и левую части

Уравнение с разделяемыми переменными

Определение:

уравнение вида [math]M_{1}(x)N_{1}(y)dx + M_{2}(x)N_{2}(y)dy = 0 \:\: (2)[/math] называется уравнением с разделяемыми переменными

Решение: (2) разделим на [math]N_{1}(y)M_{2}(x) \neq 0[/math] и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать осбые решения.

Однородные уравнения

Определение:

уравнение вида [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (3)[/math], где M и N - однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением

Определение:

[math]f(x, y) - [/math] однородная функция измерения n [math]\Leftrightarrow \: f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n}f(x, y)[/math]

Решение: произвести замену [math]t = \frac{y}{x}[/math]

Определение:

[math]\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})[/math] - один из видов однородного уравнения.

Уравнения приводящиеся к однородным

Определение:

уравнение вида [math]\frac{dy}{dx}= f(\frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}}) (4)[/math] называется уравнением приводящимся к однородному

Решение:

1) [math]\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = u + \alpha \\ y = v + \beta \end{matrix}\right. [/math]

[math] (\alpha, \beta) : \left\{\begin{matrix} a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \end{matrix}\right.[/math]

Тогда получаем однородное уравнение.

2) [math]\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow [/math] пусть [math]a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = t [/math]
а где доказательство?

Линейное уравнение первого порядка

//todo