Укладка дерева — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Укладка дерева)
Строка 7: Строка 7:
 
[[Файл:Layer-graph.jpg|250px|left|thumb|Рисунок 1. Пример поуровневой укладки дерева.]]
 
[[Файл:Layer-graph.jpg|250px|left|thumb|Рисунок 1. Пример поуровневой укладки дерева.]]
 
=== Поуровневая укладка ===
 
=== Поуровневая укладка ===
−
Простой способ построения нисходящего плоского изображения дерева заключается в использовании его поуровневого расположения (''layered drawing''), при котором вершины глубины <tex>a</tex> имеют координату <tex>y = – a</tex>, а координаты по горизонтальной оси распределяются так, чтобы никакие левые поддеревья не пересекались с правыми (см. рисунок 1). Возможна реализация за линейное время, позволяющая получить оптимальное по ширине [[Укладка графа на плоскости|плоское дерево]] в области размера <tex>O(N^2)</tex> (где <tex>N</tex> — число вершин дерева).  
+
Простой способ построения нисходящего плоского изображения дерева заключается в использовании его поуровневого расположения ''(англ. layered drawing)'', при котором вершины глубины <tex>a</tex> имеют координату <tex>y = – a</tex>, а координаты по горизонтальной оси распределяются так, чтобы никакие левые поддеревья не пересекались с правыми (см. рисунок 1). Возможна реализация за линейное время, позволяющая получить оптимальное по ширине [[Укладка графа на плоскости|плоское дерево]] в области размера <tex>O(N^2)</tex> (где <tex>N</tex> — число вершин дерева).  
  
 
<br>
 
<br>
Строка 13: Строка 13:
 
=== Радиальная поуровневая укладка ===
 
=== Радиальная поуровневая укладка ===
  
−
Радиальная поуровневая укладка(''radial drawing'') дерева отличается тем, что его уровни имеют вид концентрических окружностей (см. рисунок 2).
+
Радиальная поуровневая укладка''(англ. radial drawing)'' дерева отличается тем, что его уровни имеют вид концентрических окружностей (см. рисунок 2).
  
 
Вершины глубины <tex>a</tex> располагаются на окружностях с радиусом <tex>r = a</tex>, при этом каждое поддерево находится внутри некоторого сектора (то есть между двумя лучами исходящими из центра).  
 
Вершины глубины <tex>a</tex> располагаются на окружностях с радиусом <tex>r = a</tex>, при этом каждое поддерево находится внутри некоторого сектора (то есть между двумя лучами исходящими из центра).  
Строка 19: Строка 19:
 
Тогда <tex>\beta_q = \min(\frac{l(q)}{l(p)}\beta_p, \tau)</tex>, где <tex>\tau</tex> — это угол области <tex>F_p</tex>, определяемой пересечением касательной в точке <tex>p</tex> к окружности уровня <tex>i</tex> и окружностью уровня <tex>i+1</tex>. Угол <tex>\tau</tex> необходим для того, чтобы отрезок <tex>pq</tex> не пересек окружность уровня <tex>i</tex>.
 
Тогда <tex>\beta_q = \min(\frac{l(q)}{l(p)}\beta_p, \tau)</tex>, где <tex>\tau</tex> — это угол области <tex>F_p</tex>, определяемой пересечением касательной в точке <tex>p</tex> к окружности уровня <tex>i</tex> и окружностью уровня <tex>i+1</tex>. Угол <tex>\tau</tex> необходим для того, чтобы отрезок <tex>pq</tex> не пересек окружность уровня <tex>i</tex>.
  
−
Радиальное изображение дерева часто используют для представления свободных деревьев<ref name = "Свободное дерево">Под свободными деревьями(''free trees'') понимают деревья без выделенного корня.  </ref>, причем в качестве вершины, размещаемой в центре, берется одна из его центральных вершин <ref name="Центральная вершина">Центральная вершина {{---}} эта такая вершина, для которой расстояние от которой до самой удаленной вершины {{---}} минимальное среди всех вершин графа. Формально: Пусть <tex>r(p) = \underset{u:u\in V(G)}{\sup} dist(p, u)</tex>, тогда <tex>p</tex> {{---}} центральная, если <tex>r(p) = \underset{v:v\in V(G)}{\inf} r(v)</tex>. Понятно, что таких вершин может быть несколько. Под расстоянием здесь подразумевается длина кратчайшего пути.</ref>.
+
Радиальное изображение дерева часто используют для представления свободных деревьев<ref name = "Свободное дерево">Под свободными деревьями ''(англ. free trees)'' понимают деревья без выделенного корня.  </ref>, причем в качестве вершины, размещаемой в центре, берется одна из его центральных вершин <ref name="Центральная вершина">Центральная вершина {{---}} эта такая вершина, для которой расстояние от которой до самой удаленной вершины {{---}} минимальное среди всех вершин графа. Формально: Пусть <tex>r(p) = \underset{u:u\in V(G)}{\sup} dist(p, u)</tex>, тогда <tex>p</tex> {{---}} центральная, если <tex>r(p) = \underset{v:v\in V(G)}{\inf} r(v)</tex>. Понятно, что таких вершин может быть несколько. Под расстоянием здесь подразумевается длина кратчайшего пути.</ref>.
 
[[Файл:Hv_tree.jpg|250px|left|thumb|Рисунок 3. Пример укладки двоичного дереве в виде hv-изображения.]]
 
[[Файл:Hv_tree.jpg|250px|left|thumb|Рисунок 3. Пример укладки двоичного дереве в виде hv-изображения.]]
 
<br>
 
<br>
 
=== hv-изображения ===
 
=== hv-изображения ===
−
Бинарные деревья<ref name = "Бинарное дерево">Бинарное дерево (двоичное дерево, ''binary tree''), то есть такое дерево, у каждой вершины которого не более двух поддеревьев.</ref> можно изобразить при помощи hv-изображений (''horizontal-vertical drawing'', см. рисунок 3). При этом для каждой вершины <tex>p</tex> выполняются следующие свойства:
+
Бинарные деревья<ref name = "Бинарное дерево">Бинарное дерево (двоичное дерево) ''(англ. binary tree)'', то есть такое дерево, у каждой вершины которого не более двух поддеревьев.</ref> можно изобразить при помощи hv-изображений ''(англ. horizontal-vertical drawing)'' (см. рисунок 3). При этом для каждой вершины <tex>p</tex> выполняются следующие свойства:
 
* сын вершины <tex>p</tex> ставится в ряд за <tex>p</tex> либо по горизонтали справа, либо по вертикали вниз
 
* сын вершины <tex>p</tex> ставится в ряд за <tex>p</tex> либо по горизонтали справа, либо по вертикали вниз
 
* два прямоугольника, ограничивающие левое и правое поддерево вершины <tex>p</tex> не пересекаются
 
* два прямоугольника, ограничивающие левое и правое поддерево вершины <tex>p</tex> не пересекаются

Версия 14:12, 15 ноября 2015

Дерево — планарный граф. Его планарность можно подтвердить, предъявив способ укладки для произвольного дерева. По формуле Эйлера: [math]V - E + F = 2, V - (V - 1) + F = 2 \Leftrightarrow F = 1 [/math].

Укладка дерева

Существуют несколько способов укладки дерева на плоскости.

Рисунок 1. Пример поуровневой укладки дерева.

Поуровневая укладка

Простой способ построения нисходящего плоского изображения дерева заключается в использовании его поуровневого расположения (англ. layered drawing), при котором вершины глубины [math]a[/math] имеют координату [math]y = – a[/math], а координаты по горизонтальной оси распределяются так, чтобы никакие левые поддеревья не пересекались с правыми (см. рисунок 1). Возможна реализация за линейное время, позволяющая получить оптимальное по ширине плоское дерево в области размера [math]O(N^2)[/math] (где [math]N[/math] — число вершин дерева).


Рисунок 2. Граф из рисунка 1, но уложенный радиально.

Радиальная поуровневая укладка

Радиальная поуровневая укладка(англ. radial drawing) дерева отличается тем, что его уровни имеют вид концентрических окружностей (см. рисунок 2).

Вершины глубины [math]a[/math] располагаются на окружностях с радиусом [math]r = a[/math], при этом каждое поддерево находится внутри некоторого сектора (то есть между двумя лучами исходящими из центра). Определим способ выбора угла этого сектора для некоторого поддерева вершины [math]p[/math] находящейся на уровне [math]i[/math]. Пусть угол сектора для дерева с корнем [math]p[/math] равен [math]\beta_p[/math]. Пусть корень поддерева(непосредственный ребенок [math]p[/math]) — вершина [math]q[/math], обозначим количество вершин в дереве с корнем [math]q[/math] как [math]l(q)[/math]. Тогда [math]\beta_q = \min(\frac{l(q)}{l(p)}\beta_p, \tau)[/math], где [math]\tau[/math] — это угол области [math]F_p[/math], определяемой пересечением касательной в точке [math]p[/math] к окружности уровня [math]i[/math] и окружностью уровня [math]i+1[/math]. Угол [math]\tau[/math] необходим для того, чтобы отрезок [math]pq[/math] не пересек окружность уровня [math]i[/math].

Радиальное изображение дерева часто используют для представления свободных деревьев[1], причем в качестве вершины, размещаемой в центре, берется одна из его центральных вершин [2].

Рисунок 3. Пример укладки двоичного дереве в виде hv-изображения.


hv-изображения

Бинарные деревья[3] можно изобразить при помощи hv-изображений (англ. horizontal-vertical drawing) (см. рисунок 3). При этом для каждой вершины [math]p[/math] выполняются следующие свойства:

  • сын вершины [math]p[/math] ставится в ряд за [math]p[/math] либо по горизонтали справа, либо по вертикали вниз
  • два прямоугольника, ограничивающие левое и правое поддерево вершины [math]p[/math] не пересекаются






Примечания

  1. ↑ Под свободными деревьями (англ. free trees) понимают деревья без выделенного корня.
  2. ↑ Центральная вершина — эта такая вершина, для которой расстояние от которой до самой удаленной вершины — минимальное среди всех вершин графа. Формально: Пусть [math]r(p) = \underset{u:u\in V(G)}{\sup} dist(p, u)[/math], тогда [math]p[/math] — центральная, если [math]r(p) = \underset{v:v\in V(G)}{\inf} r(v)[/math]. Понятно, что таких вершин может быть несколько. Под расстоянием здесь подразумевается длина кратчайшего пути.
  3. ↑ Бинарное дерево (двоичное дерево) (англ. binary tree), то есть такое дерево, у каждой вершины которого не более двух поддеревьев.

Ссылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Укладка_дерева&oldid=49896»