Верхние и нижние оценки хроматического числа

Верхняя оценка длиной максимального нечетного цикла

Лемма (оценка хроматического числа длиной максимального нечётного цикла):

Пусть [math]G(V,E)[/math] — произвольный связный неориентированный граф и [math]\Delta(G)[/math] — длина максимального простого цикла графа [math]G[/math], [math]\Delta \geqslant 3[/math]. Тогда, [math]\chi(G) \leqslant\Delta(G) + 1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Опишем на графе следующий алгоритм раскраски: Из произвольной вершины [math]v[/math] запусти алгоритм поиска в глубину. Пусть [math]T[/math] — дерево обхода глубина графа [math]G[/math] с корнем в вершине [math]v[/math]. Произвольную вершину [math]u[/math], покрасим в цвет [math]dist(v,u)[/math] [math] \mod [/math] [math] (\Delta + 1)[/math], где [math]dist(v,u)[/math]— расстояние между вершинами [math]u,v[/math] в графe [math]T[/math]. Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф [math]G[/math] будет правильно раскрашен. Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины [math] a,b [/math] одного цвета.Пусть [math]color(v)[/math] — цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа [math]p[/math], [math]dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)[/math] , [math]n \geqslant 0 [/math].Тогда, [math]dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)[/math].Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то [math] k \geqslant 1[/math]. То есть, вершины [math]a,b[/math] лежат на простом цикле длины по крайней мере [math]\Delta + 2[/math]. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем [math]\Delta[/math]. Таким образом в графе [math]G[/math] после выполнения алгоритма раскраски нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из [math]\Delta + 1[/math], то есть [math]G[/math] правильно раскрашен в [math]\Delta + 1[/math] цвет, следовательно [math]\chi(G) \leqslant \Delta(G) + 1[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Нижняя оценка числом независимости

Определение:

Подмножество [math]S[/math] вершин графа [math]G[/math] называется независимым, если любые две вершины из [math]S[/math] не смежны в [math]G[/math]

Определение:

Число независимости [math]\alpha(G)[/math] графа [math]G(V,E)[/math] — [math]\max \{|S|:S \in V[/math] и S независимо в G[math]\}[/math]

Лемма (нижняя оценка):

Пусть [math]G(V,E)[/math] — произвольный связный неориентированный граф с [math]n[/math] вершинами .Тогда, [math]n/\alpha \leqslant \chi(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть, [math]V_1,V_2...V_\chi[/math] множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа [math]G[/math].Каждое из [math]V_i[/math] — независимое множество (поскольку вершины множества покрашены в один цвет при правильной покраски графа [math]G[/math], следовательно, они попарно не смежны внутри множества ). Заметим, что для произвольного [math]i[/math], [math]|V_i| \leqslant \alpha[/math] (т.к [math]V_i[/math] независимое множество). То есть, [math]\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| = n \leqslant \chi \alpha [/math], следовательно [math]n / \alpha \leqslant \chi[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Верхняя оценка количеством ребер

Лемма (верхняя оценка):

Пусть [math]G(V,E)[/math] — произвольный связный неориентированный граф с [math]m[/math] ребрами.Тогда, [math]\chi(G) \leqslant \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть, [math]V_1,V_2...V_\chi[/math] множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа [math]G[/math]. Заметим, что между любыми двумя различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет). Тогда, [math]\frac{1}{2}\chi(\chi-1) \leqslant m \Rightarrow (\chi - \frac{1}{2})^2 \leqslant 2m + \frac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \leqslant \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}} [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Нижняя оценка количеством ребер и количеством вершин

Лемма (нижняя оценка Геллера):

Пусть [math]G(V,E)[/math] — произвольный связный неориентированный граф с [math]n[/math] вершинами и [math]m[/math] ребрами .Тогда, [math]\frac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \chi(G) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть, [math]V_1,V_2...V_\chi[/math] множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа [math]G[/math]. [math]m \leqslant \frac{1}{2}n(n - 1) - \frac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \Rightarrow \frac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \frac{n^2}{n^2 -n(n - 1) + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \frac{n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \frac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \frac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} = \frac{(\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} \leqslant \chi[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Множество разных оценок для хроматических чисел
• Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел