Разрез, лемма о потоке через разрез — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Поток через разрез)
Строка 35: Строка 35:
 
<tex>f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(S\setminus s,V)+f(s,V)=f(s,V)=|f|</tex>
 
<tex>f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(S\setminus s,V)+f(s,V)=f(s,V)=|f|</tex>
  
−
*1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются (<tex>f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)</tex>)
+
*1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: <tex>f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)</tex>
  
−
*2-е равенство выполняется из-за антисимметричности (<tex>f(S,S)=-f(S,S)=0</tex>)
+
*2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: <tex>f(S,S)=-f(S,S)=0</tex>
  
 
*3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
 
*3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
Строка 52: Строка 52:
 
|proof =
 
|proof =
 
<tex>{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)=
 
<tex>{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)=
−
\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\geqslant 0}</tex>, из-за ограничений пропускных способностей (<tex>f(u,v) </tex> <tex>\leqslant c(u,v)</tex>).
+
\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\geqslant 0}</tex>, из-за ограничений пропускных способностей <tex>f(u,v) </tex> <tex>\leqslant c(u,v)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 60: Строка 60:
 
Если <tex>f(S,T)=c(S,T)</tex>, то поток <tex>f</tex> — максимален, а разрез <tex>\langle S,T\rangle</tex> — минимален.
 
Если <tex>f(S,T)=c(S,T)</tex>, то поток <tex>f</tex> — максимален, а разрез <tex>\langle S,T\rangle</tex> — минимален.
 
|proof =
 
|proof =
−
Из закона слабой двойственности следует, что <tex>f(S_1,T_1)\leqslant c(S_2,T_2)</tex> для любых двух разрезов <tex>\langle S_1,T_1\rangle</tex> и <tex>\langle S_2,T_2\rangle</tex> в сети <tex>G</tex> (так как <tex>f(S_1,T_1)=|f|=f(S_2,T_2)\leqslant c(S_2,T_2)</tex>).
+
Из закона слабой двойственности следует, что <tex>f(S_1,T_1)\leqslant c(S_2,T_2)</tex> для любых двух разрезов <tex>\langle S_1,T_1\rangle</tex> и <tex>\langle S_2,T_2\rangle</tex> в сети <tex>G</tex>, так как <tex>f(S_1,T_1)=|f|=f(S_2,T_2)\leqslant c(S_2,T_2)</tex>.
 
Значит, если расположить все величины потоков и разрезов на оси OX, то у потоков с разрезами может быть максимум 1 точка пересечения.
 
Значит, если расположить все величины потоков и разрезов на оси OX, то у потоков с разрезами может быть максимум 1 точка пересечения.
 
[[Файл:flows_and_cuts.png|thumb|right|Потоки и разрезы]] Очевидно, что эта точка определяет максимальный поток среди всех потоков и минимальный разрез среди всех разрезов сети <tex>G</tex>.
 
[[Файл:flows_and_cuts.png|thumb|right|Потоки и разрезы]] Очевидно, что эта точка определяет максимальный поток среди всех потоков и минимальный разрез среди всех разрезов сети <tex>G</tex>.

Версия 17:50, 5 декабря 2015

Определение разреза

Определение:
[math](s,t)[/math]-разрезом (англ. s-t cut) [math]\langle S,T\rangle[/math] в сети [math]G[/math] называется пара множеств [math]S,T[/math], удоволетворяющих условиям:

1) [math]s\in S, t\in T[/math]

2) [math]S\cup T=V[/math]

3) [math]S\cap T=\varnothing[/math]


Поток через разрез

Определение:
Пропускная способность разреза [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]c(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]c(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)[/math].


Определение:
Поток в разрезе [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]f(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)[/math].


Определение:
Минимальным разрезом называется разрез с минимально возможной пропускной способностью


Лемма:
Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)=|f|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(S\setminus s,V)+f(s,V)=f(s,V)=|f|[/math]

  • 1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: [math]f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)[/math]
  • 2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: [math]f(S,S)=-f(S,S)=0[/math]
  • 3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
  • 4-е равенство выполняется из-за сохранения потока
[math]\triangleleft[/math]


Лемма (закон слабой двойственности потока и разреза):
Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] — разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)\leqslant c(S,T)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)= \sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\geqslant 0}[/math], из-за ограничений пропускных способностей [math]f(u,v) [/math] [math]\leqslant c(u,v)[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
Если [math]f(S,T)=c(S,T)[/math], то поток [math]f[/math] — максимален, а разрез [math]\langle S,T\rangle[/math] — минимален.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Из закона слабой двойственности следует, что [math]f(S_1,T_1)\leqslant c(S_2,T_2)[/math] для любых двух разрезов [math]\langle S_1,T_1\rangle[/math] и [math]\langle S_2,T_2\rangle[/math] в сети [math]G[/math], так как [math]f(S_1,T_1)=|f|=f(S_2,T_2)\leqslant c(S_2,T_2)[/math]. Значит, если расположить все величины потоков и разрезов на оси OX, то у потоков с разрезами может быть максимум 1 точка пересечения.

Потоки и разрезы
Очевидно, что эта точка определяет максимальный поток среди всех потоков и минимальный разрез среди всех разрезов сети [math]G[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез&oldid=50128»