Изменения

{{В разработкеОпределение|neat=neat|definition=Граф<ref>На самом деле, ''двойственный граф'' — '''псевдограф''', поскольку в нём могут быть петли и кратные рёбра.</ref> <tex>G'</tex> называется '''двойственным''' (англ. ''dual graph'') к [[Укладка графа на плоскости|планарному графу]] <tex>G</tex>, если:# Вершины <tex>G'</tex> соответствуют граням <tex>G</tex>.# Между двумя вершинами в <tex>G'</tex> есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие грани в <tex>G</tex> имеют общее ребро.}}[[Файл:Dual_graph_2.png|180px|thumb|right|Граф (белые вершины) и двойственный ему (серые вершины).]]<div style='clear:left;'></div>  Чтобы для данного плоского графа <tex>G</tex> построить двойственный <tex>G'</tex>, необходимо поместить по вершине <tex>G'</tex> в каждую грань <tex>G</tex> (включая внешнюю), а затем, если две грани в <tex>G</tex> имеют общее ребро, соединить ребром соответствующие им вершины в <tex>G'</tex> (если грани имеют несколько общих рёбер, соответствующие вершины следует соединить несколькими параллельными рёбрами). В результате всегда получится плоский псевдограф. Например, существуют графы, двойственные себе: — <tex>K_1</tex> и <tex>K_4</tex>. Далее мы убедимся, что среди полных графов только они обладают таким свойством.   == Свойства ==[[Файл:Treenflower new.png|250px|thumb|right|Дерево и двойственный к нему «цветок».‎]]* Если <tex>G'</tex> — ''двойственный'' к двусвязному графу <tex>G</tex>, то <tex>G</tex> — ''двойственный'' к <tex>G'</tex>.* У одного и того же графа может быть несколько ''двойственных'', в зависимости от конкретной укладки (см. картинку).* Поскольку любой трёхсвязный планарный граф допускает только одну укладку на сфере<ref>Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — Теорема 11.5 — С. 130. — ISBN 978­-5­-397­-00622­-4</ref>, у него должен быть единственный ''двойственный граф''.* [[Мост, эквивалентные определения|Мост]] переходит в петлю, а петля — в мост. Частный случай: полный граф <tex>K_2</tex>* Мультиграф, ''двойственный'' к дереву, — цветок.

|definition=Граф ''G&prime;'' Планарный граф называется '''двойственнымсамодвойственным''' к планарному графу (англ. ''Gself-dual graph''), если:# Вершины ''G&prime;'' соответствуют граням ''G''# Между двумя вершинами в ''G&prime;'' есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие грани в ''G'' имеют общее реброон изоморфен своему двойственному графу.

[[Файл<div style='clear:Dual_graph.png|thumb|right|Граф (белые вершины) и двойственный ему (полосатые вершины)]]left;'></div> 

 {{Утверждение|neat=neat|statement= Свойства <tex>K_1</tex> и <tex>K_4</tex> — самодвойственные графы. Среди полных графов других самодвойственных нет.|proof=Проверить, что <tex>K_1</tex> и <tex>K_4</tex> полны и самодвойственны несложно. Докажем, что других нет.<br/>Поскольку грани графа переходят в вершины, количество вершин и граней в исходном графе должно совпадать, т.е. <tex>V =F</tex>.<br/>Подставив в [[ФайлФормула Эйлера|формулу Эйлера]] имеем:Noniso_dual_graphs<tex>2V = E + 2 \Leftrightarrow V = \dfrac{E}{2} + 1</tex>.png|thumb|left|<br/>В верхнем двойственном полном графе есть вершина степени 6, а в нижнем — нет<tex>E = \dfrac{V \cdot (V - 1)}{2}</tex>.<br/>Получаем квадратное уравнение: <tex>V^2 - 5V + 4 = 0</tex>.<br/>Его решения: <tex>V_1 = 1</tex> и <tex>V_2 = 4</tex>. Следовательно, они не изоморфны]]* На самом деле<br/>Таким образом, чтобы ''двойственный граф'' — полный''граф был 'мультиграф'самодвойственным'', поскольку в нём могут должна быть петли и кратные рёбра* Если ''G&prime;ровно '' — 'одна'двойственный'' к двусвязному графу или ''G'четыре', то ''Gвершины.}} <div style='' — ''двойственный'' к ''G&primeclear: both;''><br/></div>{{Утверждение|neat=neat|statement=Все колёса самодвойственны.* У одного и того же графа может быть несколько двойственных|proof=Это утверждение очевидно.<br/>Достаточно убедиться, в зависимости от конкретной что два варианта укладки колеса (смвершина с большой степенью внутри или вершина с большой степенью снаружи) двойственны друг другу.}} <div style="clear:both;"></div> == См. картинку)также ==*[[Формула Эйлера]]*[[Укладка графа на плоскости]]*[[Гамма-алгоритм]]