Матричный умножитель

Назначение

Матричный умножитель предназначен для арифметического умножения двух двоичных чисел произвольной разрядности.

Принцип работы

Умножение в бинарной системе

Умножение в бинарной системе счисления происходит точно так же, как в десятичной - по схеме "умножения столбиком". Если множимое - [math]k[/math] разрядное, а множитель -[math]n[/math] разрядный, то для формирования произведения требуется вычислить [math]n[/math] частичных произведений и сложить их между собой.

Вычисление частичных произведений

В бинарной системе для вычисления частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами "AND" - конъюнкторами. Каждое частичное произведение ([math]m_i[/math]) - это результат выполнения [math]k[/math] логических операции "AND" ( между текущим [math]i ( i=1..n)[/math] разрядом множителя и всеми [math]k[/math] разрядами множимого) и сдвига результата логической операции влево на число разрядов, соответствующее весу текущего разряда множителя. Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:

[math]m_i = 2^{i - 1} (a \wedge b_i), где i=1..n[/math]

Суммирование частичных произведений

На этом этапе происходит сложение всех частичных произведений [math] m [/math].

Схема

Принципиальная схема умножителя, реализующая алгоритм двоичного умножения в столбик для двух четырёх-разрядных чисел приведена на рисунке. Формирование частичных произведений осуществляется посредством логических элементов "AND". Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают формирование разрядов результата. Разрядность результата [math] l [/math] определяется разрядностью множителя - [math] n [/math] и множимого - [math] k [/math]: [math] l=n+k [/math]

Работа схемы

Схема работает по достаточно простому принципу.

В начале первый разряд первого и первый разряд второго числа поступают на элемент "И" и результат сразу записывается в первый разряд произведения.

Дальше второй разряд первого числа снова поступает вместе с первым разрядом второго числа на элемент И и результат уже суммируется с произведение первого разряда первого числа и второго разряда второго числа и все это записывается во второй разряд произведения.

И дальше все продолжается по циклу.

То есть все произведения разрядов первого числа на [math] n - 1 [/math] разряд второго числа суммируются с произведением предыдущего разряда первого числа на [math] n [/math] разряд второго числа. И далее эта сумма так же суммируется, если только мы уже не получили нужный нам разряд произведения.

Проводники

Как мы можем видеть, [math]y1 - y5[/math] — разряды первого числа, [math]x1 - x4[/math] — разряды второго числа. [math]y1 - y5[/math] проводники идут ко всем элементам "И", а [math]x1 - x4[/math] идут каждый только к одному из пяти разрядных сумматоров [math]SM[/math]. А на выходе мы имеем [math]z1 - z9[/math] — разряды конечного числа.

"Матричный умножитель"

Если внимательно посмотреть на схему умножителя, то можно увидеть, что она образует матрицу, сформированную проводниками, по которым передаются разряды числа [math]A[/math] и числа [math]B[/math]. В точках пересечения этих проводников находятся логические элементы “И”. Именно по этой причине умножители, реализованные по данной схеме, получили название матричных умножителей.

Схемная сложность

Частичные произведения вычисляются за [math]n[/math] шагов. Сложение с вычислением переносов включает [math]n - 1[/math] шаг. Последнее сложение можно выполнить за [math]O(\log n)[/math].

В итоге суммарное время работы:

[math]O(n) + O(n) + O(\log n) = O(n) [/math]

Время работы схемы можно сократить, если сумматоры располагать не последовательно друг за другом, как это предполагается алгоритмом, приведенным на первом рисунке (общая схема), а суммировать частичные произведения попарно, затем суммировать пары частичных произведений и т.д. В этом случае время выполнения операции умножения значительно сократится.

Особенно заметен выигрыш в быстродействии при построении многоразрядных умножителей, однако ничего не бывает бесплатно. В обмен на быстродействие придётся заплатить увеличением разрядности сумматоров, а значит сложностью схемы.

Есть и более быстрые способы умножения двух чисел, например умножение с помощью дерева Уоллеса, которое работает [math]O(\log n)[/math].

Литература и источники

• Е. Угрюмов "Цифровая схемотехника" 2001г.

• Дк. Ф. Уэйкерли "Проектирование цифровых устройств, том 1." 2002г.

• М.И. Богданович "Цифровые интегральные микросхемы" 1996г.

• В.Л. Шило "Популярные цифровые микросхемы" 1988г.

• Схема умножителя

• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Пер. с англ. под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2000. — 960 с. — ISBN 5-900916-37-5