Поток минимальной стоимости

Задача о потоке минимальной стоимости

Определение:

Стоимость потока. Дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. [math]\forall (u,v) \in E[/math] [math]\exists c(u, v), f(u,v)[/math] — стоимость пересылки единицы потока и пропускная способность. Тогда общая стоимость потока из [math]S[/math] в [math]T[/math]: [math]p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)\gt 0} c(u,v) \cdot f(u,v)[/math]

Свойства стоимости

• Поток не может превысить пропускную способность.

[math]f(u,v) \leqslant c(u,v)[/math]

• Поток из [math]u[/math] в [math]v[/math] должен быть противоположным потоку из [math]v[/math] в [math]u[/math].

[math]f(u, v)=-f(v, u)[/math]

• Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно 0.

[math] \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0[/math]

Задача:

Дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. [math]\forall (u,v) \in E[/math] [math]\exists c(u, v), f(u,v)[/math] — стоимость пересылки единицы потока и пропускная способность. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.

Алгоритмы решения

• Воспользуемся Леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети.
  • Найдем любой поток величины [math]f_0[/math].
  • При помощи Форда-Беллмана найдем отрицательные циклы в остаточной сети.
  • Избавимся от всех найденных циклов, для этого, пустим по ним максимально возможный поток.

• Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости.
• Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма).

См. также

• Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости
• Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости
• Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети

Источники информации

• Википедия - Поток минимальной стоимости
• Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости
• Хабрахабр - Максимальный поток минимальной стоимости

Литература

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)