Изменения
Нет описания правки
о паросочетании в графе замен
|statement= Пусть <tex>M = \langle X,I \rangle </tex> — матроид. Множества <tex>A, B \in I</tex>, причем <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда двудольный граф <tex>G_M(A) = \{ (x, y) | x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}</tex> содержит полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>.
|proof= Индукция по <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>.<br> 1) * База индукции очевидна. *: В случае, когда <tex>A \bigtriangleup B = \emptyset </tex>, есть пустое паросочетание. <br> 2)Покажем, что справедлив и индукционный переход. * Переход*: Рассмотрим матроид <tex>M_1 = \langle X, \{ K | K \in I, |K| \leq |A| \} \rangle</tex>. Множества <tex>A, B \in I</tex> и <tex>|A| = |B|</tex>, а значит они являются базами для матроида <tex>M_1</tex>. Тогда по [[Теорема о базах|теореме о базах]] <tex>\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : A \setminus x \cup y \in I</tex>, поэтому <tex>(x, y) \in G_M(A)</tex>. Множества <tex>A \setminus x </tex> и <tex>B \setminus y</tex> являются независимыми как подмножества независимых и их <tex>\bigtriangleup</tex> имеет меньшую мощность, чем <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>. Тогда по предположению индукции на их <tex>\bigtriangleup</tex> есть полное паросочетание, которое вместе с <tex>(x, y)</tex> составляет полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>, а значит индукционный переход справедлив. Утверждение доказано.
}}
