Толстая куча на избыточном счётчике

Толстое дерево

Определение:

Определяем толстое дерево (англ. Thick tree) [math]F_k[/math] ранга [math]k ~(k = 0, 1, 2 ,\ldots )[/math] следующим образом:

• Толстое дерево [math]F_0[/math] ранга ноль состоит из единственного узла.
  
• Толстое дерево [math]F_k[/math] ранга [math]k[/math], для [math]k = 1, 2, 3,\ldots [/math], состоит из трех деревьев [math]F_{k-1}[/math] ранга [math]k-1[/math],таких, что корни двух из них являются самыми левыми потомками корня третьего.

Пример толстых деревьев [math]F_0, F_1, F_2, F_3[/math]

Определение:

Ранг узла [math]x[/math] в толстом дереве определяется как ранг толстого поддерева с корнем в узле [math]x[/math].

Свойства толстых деревьев

Утверждение:

В толстом дереве ранга [math]k[/math] ровно [math]3^k[/math] узлов.

Определение:

Толстый лес (англ. Thick forest) — это набор толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны.

Утверждение:

Для любого натурального числа [math]n[/math] существует лес из толстых деревьев, в котором ровно [math]n[/math] узлов.

[math]\triangleright[/math]

Действительно, такой лес можно построить, включив в него столько деревьев ранга [math]i[/math], каково значение [math]i[/math]-го разряда представления числа [math]n[/math] в троичной системе счисления. Заметим, что для построения такого леса можно использовать и избыточные троичные представления.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Толстый лес из [math]n[/math] узлов содержит [math]O(n\log{n})[/math] деревьев.

Определение:

Лес будем называть нагруженным, если он состоит из нескольких толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны и узлам которых взаимно однозначно поставлены в соответствие элементы взвешенного множества.

Определение:

Узел (англ. Node) в нагруженном лесе назовем неправильным, если его ключ меньше ключа его родителя.

Определение:

Нагруженный лес назовем почти кучеобразным, если для каждого значения [math]k[/math] в нем имеется не более двух неправильных узлов ранга [math]k[/math].

Толстые кучи

Определение:

Лес будем называть нагруженным, если он состоит из нескольких толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны и узлам которых взаимно однозначно поставлены в соответствие элементы взвешенного множества.

Определение:

Узел (англ. Node) в нагруженном лесе назовем неправильным, если его ключ меньше ключа его родителя.

Определение:

Нагруженный лес назовем почти кучеобразным, если для каждого значения [math]k[/math] в нем имеется не более двух неправильных узлов ранга [math]k[/math].

Здесь и далее Толстая куча на избыточном счетчике будет заменено на более лаконичное Толстая куча.

Определение:

Толстая куча (англ. Thick heap, Fat heap) — это почти кучеобразный нагруженный лес.

Структура узла

Каждый узел толстой кучи будем представлять записью со следующими полями:

struct Node
  int key       // ключ элемента, приписанного узлу дерева
  Node parent   // указатель на родителя узла
  Node left     // указатель на ближайшего левого брата узла
  Node right    // указатель на ближайшего правого брата узла
  Node lChild   // указатель на самого левого сына
  int rank      // ранг узла

"Братья" (узлы корневых деревьев, а также сыновья каждого узла) объединены в двусвязный список при помощи указателей [math]left[/math] и [math]right[/math]. У самого левого (правого) "брата" в этом списке указатель [math]left[/math] ([math]right[/math]) равен [math]NULL[/math].

Структура кучи

Толстую кучу будем представлять записью следующего вида:

struct FatHeap
  int[] rootCount        // массив, соответствующий корневому счетчику
  int[] countViolation   // массив, соответствующий счетчику нарушений
  Node minPointer        // указатель на элемент кучи с минимальным ключом
  int maxRank            // наибольший ранг среди рангов деревьев, присутствующих в куче

Представление леса списком

Избыточное представление чисел

Определение:

Избыточным [math]b[/math]-арным представлением числа [math]x[/math] будем называть последовательность [math]d = d_n, d_{n-1}, \ldots, d_0[/math], такую что [math]x = {\sum\limits^{n}_{i = 0} {d_i}}{b^i}[/math] где [math] d_i \in \{0, 1, \ldots, b\} [/math], [math] i \in \{0, 1, \ldots, n\} [/math]

Определение:

Назовем [math]b[/math]-арное избыточное представление числа регулярным, если в нем между любыми двумя цифрами, равными [math]b[/math] , найдется цифра, отличная от [math]b-1[/math].

Определение:

Пусть [math]L(i)[/math] — номер разряда, отличного от [math]b-1[/math] и ближайшего слева от [math]i[/math]-го разряда в регулярном [math]b[/math]-арном избыточном представлении [math]d = d_n, \ldots, d_0[/math]. Прямой указатель [math]L'(i)[/math] определим следующим образом: [math]L'(i) = L(i)[/math] , если [math]d_i \in \{b-1, b-2\}[/math] и [math]d(L(i))=b[/math]; [math]L'(i)[/math] — произвольное число [math]\gt i[/math], если [math]d_i \in \{b-1, b-2\}[/math] и [math]d(L(i))\lt b-1[/math]; [math]L'(i)[/math] — не определено, если [math]d \notin \{b-1, b-2 \}[/math] .

Фиксация цифры

Фиксацией цифры [math]b[/math], стоящей в [math]i[/math]-м разряде представления [math]d[/math], назовем операцию [math]\mathrm{fix(i)}[/math], заключающуюся в обнулении цифры [math]d_i[/math] и инкрементировании цифры [math] d_{i+1} [/math], при этом если [math]i=n[/math] , то полагаем [math]d_{i+1} = 1[/math]. При каждом выполнении операции фиксации будем обновлять значение [math]L'(i)[/math]. Очевидно, при [math]b\gt 2[/math] операцию [math]\mathrm{fix(i)}[/math] можно выполнить следующим образом:

void fix(int i):
  if d[i] == b
    d[i] = 0
    d[i + 1]++
  if d[i + 1] == b - 1:
    L'[i] = L'[i + 1]
  else
    L'[i] = i + 1

Инкремент

Операцию [math]\mathrm{inc(i)}[/math] инкрементирования [math]i[/math]-й цифры избыточного представления [math]d[/math] можно выполнить так:

void inc(int i):
  fix(i)
  if (d[i] == b - 1) or (d[i] == b - 2)
    fix(L'[i])
  d[i]++
  fix(i)

Декремент

Эта схема может быть расширена для выполнения за константное время декрементирования произвольной цифры добавлением дополнительного цифрового значения [math]b+1[/math].

Представление приоритетной очереди основано на использовании так называемых избыточных счетчиков, позволяющих за время [math]O(1)[/math] инкрементировать любой разряд. Заметим, что использованные здесь счетчики — лишь один из способов реализации толстых куч. На самом деле, для их реализации подойдет произвольный d-арный счетчик, при условии, что трудоемкость инкрементирования любого его разряда является константной.

Корневой счетчик

Корневой счетчик состоит из избыточного троичного представления числа элементов в куче и набора списочных элементов.

Значение его [math]i[/math]-го разряда равно количеству деревьев ранга [math]i[/math], присутствующих в куче. При таком определении избыточного корневого представления число, которое оно представляет, равно числу узлов в куче, так как толстое дерево ранга [math]i[/math] содержит ровно [math]3^i[/math] узлов. Заметим, что состояние избыточного корневого представления определяется неоднозначно. Очевидно, что для любой толстой кучи, состоящей из [math]n[/math] элементов, существует регулярное избыточное представление корневого счетчика. Списочный элемент, приписанный [math]i[/math]-му разряду избыточного корневого представления, — это указатель на список деревьев ранга [math]i[/math], присутствующих в куче, образованный посредством указателей [math]right[/math] корневых узлов связываемых деревьев.

Утверждение (о корневом счетчике):

Из определения корневого счетчика следует: Корневой счетчик позволяет иметь доступ к корню любого дерева ранга [math]i[/math] за время [math]O(1)[/math]. Вставка толстого дерева ранга [math]i[/math] соответствует операции инкрементирования [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика. Удаление толстого поддерева ранга [math]i[/math] соответствует операции декрементирования [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика. Операции инкрементирования и декрементирования [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика осуществляются за время [math]O(1)[/math].

Корневой счетчик представляем расширяющимся массивом [math]\mathtt{rootCount}[/math] , каждый элемент которого — запись с тремя полями:

• [math]\mathtt{rootCount[i].Value}[/math] — [math]i[/math]-й разряд равный количеству деревьев ранга [math]i[/math].
• [math]\mathtt{rootCount[i].forwardPointer}[/math] — прямой указатель [math]i[/math]-го разряда.
• [math]\mathtt{rootCount[i].listPointer}[/math] — указатель на список деревьев ранга [math]i[/math], присутствующих в толстой куче. Деревья в этом списке связаны при помощи указателя [math]Right[/math] корневых узлов связываемых деревьев. Если в куче нет деревьев ранга [math]i[/math] , то указатель [math]\mathtt{listPointer}[/math] равен [math]NULL[/math].

Заметим, что если значение равно нулю, то нам неважно значение указателя [math]\mathtt{rootCount[i].listPointer}[/math].

Инициализация

Чтобы время инициализации счетчиков было [math]O(1)[/math], используем поразрядную их инициализацию. То есть будем добавлять новые разряды только тогда, когда возникает такая необходимость, и при этом инициализировать новый разряд сразу в обоих счетчиках. Для этого мы вводим переменную [math]\mathtt{maxRank}[/math], которая показывает нам, какая часть массивов счетчиков используется в данный момент.

При начальной инициализации необходимо установить счетчики в состояние, которое отвечает пустой куче. Очевидно, что в пустой куче не может быть никаких нарушений.

Обновление прямого указателя

Обновление прямого указателя [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика заключается в выполнении следующего псевдокода:

void updateForwardPionter(int i):
  if rootCount[i + 1].Value == 3 - 1
    rootCount[i].forwardPointer = rootCount[i + 1].forwardPointer
  else
    rootCount[i].forwardPointer = i + 1

Корректировка при вставке

Корректировка списочной части [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика при вставке в кучу нового дерева ранга [math]i~(\mathrm{insertTree(i,p)})[/math]. Эта процедура вставляет новое дерево ранга [math]i[/math] (на него указывает указатель [math]p[/math]) в списочную часть [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика [math]\mathtt{rootCount}[/math] выглядит так:

void insertTree(int i, Node p):
  p1 = rootCount[i].listPointer
  if rootCount[i].Value [math] \ne [/math] 0
    p.right = p1
  else
    p.right = NULL
  p.left = NULL
  rootCount[i].listPointer = p

Корректировка при удалении

Корректировка списочной части [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика при удалении из кучи дерева ранга [math]i~(\mathrm{deleteTree(i,p)})[/math]. Эта процедура удаляет дерево ранга [math]i[/math] (на него указывает указатель [math]p[/math]) из списочной части [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика [math]\mathtt{rootCount}[/math] . Будем считать, что указанное дерево присутствует в куче. Процедура заключается в выполнении следующего псевдокода:

void deleteTree(int i, Node p):
  p1 = rootCount[i].listPointer
  if p1 == p
    rootCount[i].listPointer = p.right
  j = 1
  while (j [math] \le [/math] rootCount[i].Value) and (p1.right [math] \ne [/math] p):
    j++
    p1 = p1.right
  p1.right = p.right

Связывание трех деревьев в одно

Связывание [math]\mathrm{fastening (p1, p2, p3)}[/math] трех толстых деревьев ранга [math]i[/math] в одно толстое дерево ранга [math]i+1[/math]. Эта функция принимает три указателя [math]p1, p2 ,p3[/math] на три разных толстых дерева одного и того же ранга [math]i[/math] и возвращает указатель на вновь сформированное дерево ранга [math]i+1[/math] . Процедура заключается в выполнении следующего псевдокода:

Node fastening (Node p1, Node p2, Node p3):
  if (p1.key [math] \le [/math] p2.key) and (p1.Key [math] \le [/math] p3.key)
    minP = p1
    p1 = p2
    p2 = p3
  if (p2.key [math] \le [/math] p1.key) and (p2.key [math] \le [/math] p3.key)
    minP = p2
    p1 = p1
    p2 = p3
  if (p3.key [math] \le [/math] p1.key) and (p3.key [math] \le [/math] p2.key)
    minP = p3
    p1 = p1
    p2 = p2
  p1.right = p2
  p1.left = NULL
  p1.parent = minP
  p2.right = minP.lChild
  p2.left = p1
  p2.parent = minP
  if minP.lChild [math] \ne [/math] NULL
    minP.lChild.left = p2
  minP.lChild = p1
  minP.rank = minP.rank + 1
  minP.right = NULL
  minP.left = NULL
  return minP

Значение ключа элемента по указателю

Функция [math]\mathrm{getKey(p)}[/math] по указателю p на элемент определяет значение его ключа:

//под [math]\infty[/math] нужно понимать нейтральный относительно минимума элемент.
int getKey(Node p):
  if p == NULL
    min = [math]\infty[/math]
  else
    min = p.key
  return min

Узел с минимальным ключом

Функция [math]\mathrm{minKeyNodeRoot(p)}[/math], которая по указателю [math]p[/math] на списочную часть разряда корневого счетчика возвращает указатель на корневой узел с минимальным ключом:

minKeyNodeRoot(p):
  p1 = p
  minP = p1
  while p1 [math] \ne [/math] NULL
    if p1.key < minP.key
      minP = p1
      p1 = p1.right
  return minP

Операция фиксации

Операция фиксации [math]\mathrm{rmFixRootCount(i)}[/math] для [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика подразумевает, что его значение равно трем, а списочная часть содержит указатель на список деревьев ранга [math]i[/math], состоящий ровно из трех деревьев. При выполнении этой операции значение в [math]i[/math]-м разряде — должно стать равным нулю, а значение в [math]i[/math]-м разряде увеличиться на единицу. То есть в куче не должно остаться деревьев ранга [math]i[/math], а количество деревьев ранга [math]i+1[/math] должно увеличиться на единицу. Для этого следует удалить из кучи три присутствующих в ней дерева ранга [math]i[/math] , связать их в дерево ранга [math]i+1[/math] и вставить вновь полученное дерево в кучу. Следует учесть, что ранг нового дерева может стать больше, чем [math]\mathtt{maxRank}[/math], что потребует инициализации нового разряда. Для этого необходимо увеличить значение [math]\mathtt{maxRank}[/math] на единицу и заполнить новое поле, а также провести инициализацию нового разряда.

rmFixRootCount(i)
  if maxRank == i
    maxRank = i + 1
    rootCount[i + 1].Value = 0
    countViolation[i + 1].Value = 0
  else
    updateForwardPointer(i + 1)
  rootCount[i].Value = 0
  p1 = rootCount[i].listPointer
  p2 = p1.right
  p3 = p2.right
  p = fastening(p1, p2, p3)
  rootCount[i].listPointer = NULL
  insertTree(i + 1, p)
  rootCount[i + 1].Value = rootCount[i + 1].Value + 1

Инкрементирование i-го разряда корневого счетчика

По сравнению с описанным алгоритмом инкрементирования [math]i[/math]-го разряда избыточного представления здесь мы должны учесть работу со списочной частью и обновить прямые указатели.

rmIncRootCount(i,p)
  if (rootCount[i].Value == 1) or (rootCount[i].Value == 2)
    if rootCount[rootCount[i].forwardPointer].Value == 3
      fixRootCount(rootCount[i].forwardPointer);
  if rootCount[i].Value == 3
    fixRootCount(i)
  insertTree(i, p)
  rootCount[i].Value = rootCount[i].Value + 1
  updateForwardPointer(i)
  if rootCount[i].Value == 3
    fixRootCount(i)

Удаление дерева из кучи

Процедура удаления дерева из кучи подразумевает наличие в куче этого дерева. Пусть удаляемое дерево имеет ранг [math]i[/math] . Тогда значение [math]i[/math]-го разряда избыточного корневого представления не равно нулю. То есть уменьшение этого значения на единицу не испортит регулярности представления и не потребует обновления каких-либо указателей. Необходимо лишь соответствующим образом обработать списочную часть.

delete(i, p):
  deleteTree(i, p)
  rootCount[i].Value = rootCount[i].Value - 1

Нахождение дерева с минимальным ключом в корне [math]\mathrm{minKey()}[/math]

minKey()
  minP = NULL
  for i = 0 to maxRank:
    p1 = minKeyNodeRoot(rootCount[i].listPointer)
    if getKey(p1) < getKey(minP):
      minP = p1
  return minP

Счетчик нарушений

Заметим, что счетчик нарушений очень похож на корневой счетчик выше, но в отличие от второго:

• Нас теперь интересует не само число, а только значения разрядов.
• Операция фиксации тесно связана с толстой кучей.

Значение [math]i[/math]-го разряда для счетчика нарушений интерпретируется как количество неправильных узлов ранга [math]i[/math] , а его списочная часть — это указатели на неправильные узлы ранга [math]i[/math] .

Счетчик нарушений состоит из расширенного избыточного двоичного представления и набора списочных элементов.

Счетчик нарушений представлен саморасширяющимся массивом, элементы которого состоят из четырех полей:

• [math]\mathtt{countViolation[i].Value}[/math] — количество неправильных узлов ранга [math]i[/math] в куче.
• [math]\mathtt{countViolation[i].forvardPointer}[/math] — прямой указатель [math]i[/math]-го разряда
• [math]\mathtt{countViolation[i].firstViolation}[/math] — указатель на неправильный узел ранга [math]i[/math]
• [math]\mathtt{countViolation[i].secondViolation}[/math] — указатель на неправильный узел ранга [math]i[/math]

Утверждение (о счетчике нарушений):

из определения счетчика нарушений следует: Наличие счетчика нарушений позволяет иметь доступ к любому неправильному узлу ранга [math]i[/math] за время [math]O(1)[/math] . Уменьшение ключа у элемента ранга [math]i[/math] соответствует операции инкрементирования [math]i[/math]-го разряда счетчика нарушений (естественно, лишь в случае, когда новое значение ключа у изменяемого узла становится меньше значения ключа его родителя). Операции инкрементирования и декрементирования [math]i[/math]-го разряда осуществляются за время [math]O(1)[/math].

Для инициализации нового звена в счетчике нарушений необходимо лишь занулить его значение в новом разряде. Делается это только тогда, когда мы вводим в кучу новое дерево ранга [math]\mathtt{maxRank + 1}[/math]. Это первый момент появления в куче узла ранга [math]\mathtt{maxRank + 1}[/math]. Для тех нарушений, которые могут возникнуть в узлах ранга меньше либо равного [math]\mathtt{maxRank + 1}[/math], соответствующие разряды счетчика нарушений уже инициализированы, а узлов большего ранга в куче пока нет.

Основные операции

Рассмотрим операции, которые можно производить с толстой кучей. Время работы основных операций указано в таблице:

Операция	Время работы
[math]\mathrm{makeHeap}[/math]	[math]O(1)[/math]
[math]\mathrm{findMin}[/math]	[math]O(1)[/math]
[math]\mathrm{insert(key)}[/math]	[math]O(1)[/math]
[math]\mathrm{decreaseKey}[/math]	[math]O(1)[/math]
[math]\mathrm{deleteMin}[/math]	[math]O(\log(n))[/math]
[math]\mathrm{delete}[/math]	[math]O(\log(n))[/math]
[math]\mathrm{meld(h1, h2)}[/math]	[math]O(\log(n))[/math]

makeHeap

Заключается в инициализации счетчиков.

findMin

Возвращает указатель на минимальный элемент.

insert(key)

Чтобы выполнить эту операцию, делаем новый элемент отдельным деревом и выполняем процедуру вставки нового элемента ранга [math]0[/math] в корневой счетчик. После этого, если необходимо, корректируем значение указателя на минимальный элемент.

decreaseKey

Чтобы выполнить эту операцию, поступим следующим образом. Пусть [math]x[/math] — узел, на который указывает указатель [math]p[/math] . Вычитаем [math]\delta[/math] из ключа узла [math]x[/math] . Если новый ключ [math]x[/math] меньше минимального ключа кучи [math]H[/math], обмениваем ключ элемента [math]p[/math] с ключом минимального элемента. Новых нарушений операция не создаст. Пусть [math]r[/math] — ранг [math]x[/math] . Если [math]x[/math] — нарушаемый узел, добавляем [math]x[/math] как новое [math]r[/math]-ранговое нарушение инкрементированием [math]r[/math]-й цифры [math]d_r[/math] счетчика нарушений.

deleteMin

Удаляем поддерево с корнем в минимальном узле из леса. Минимальность этого элемента гарантирует нам, что среди его детей нарушений порядка кучи не было. То есть нет необходимости работать со счетчиком нарушений. Затем вставляем в кучу все деревья с корнями, расположенными в детях удаляемого узла. Очевидно, что новый минимальный ключ — либо в корне дерева леса, либо в нарушенном узле. Выполняем поиск нового минимального элемента среди корней деревьев и нарушенных узлов. Если минимальный элемент оказался в нарушенном узле, то обмениваем его с элементом, хранимым в корне этого дерева, корректируя корневой счетчик, если это необходимо. После замены новый минимум — в корне дерева леса. Этот корень будет новым минимальным узлом.

delete

Выполняем [math]\mathrm{decreaseKey}[/math] а затем [math]\mathrm{deleteMin}[/math].

meld(h1, h2)

Первый шаг — фиксируются все нарушения в куче с меньшим максимальным рангом (разрывая связь произвольно). Не уменьшая общности, считаем, что эта куча — [math]р2[/math] . Пройти по счетчику нарушений [math]p2[/math] от младшей цифры к старшей, пропуская цифры со значением [math]0[/math] . Для [math]i[/math]-й цифры [math]d_i != 0[/math] делаем операцию фиксирования на каждой цифре, показываемой прямым указателем [math]d_i[/math] , если эта цифра имеет значение [math]2[/math]. Затем, если [math]d_i = 2[/math] , фиксируем [math]d_i[/math] . Если [math]d_i = 1[/math] , преобразуем это [math]i[/math]-ранговое нарушение в [math](i+1)[/math]-ранговое нарушение, как при фиксировании, используя [math]i[/math]-рангового брата нарушенного узла вместо (несуществующего) другого [math]i[/math] -рангового нарушения. Как только [math]h2[/math] не будет содержать каких-либо нарушений, нужно вставить корни из корневого счетчика [math]h2[/math] в корневой счетчик [math]h1[/math] инкрементированием соответствующих цифр. Если минимальный узел [math]h2[/math] содержит меньший ключ, чем минимальный узел [math]h1[/math] , следует установить новым минимальным узлом [math]h1[/math] минимальный узел [math]h2[/math] . Затем нужно вернуть модифицированную кучу [math]h1[/math] в качестве результата [math]\mathrm{meld}[/math] .

deleteViolation

Для освобождения кучи от нарушений достаточно выполнить следующий псевдокод:

deleteViolation(h2):
  for i = 0 to h2.maxRank
    if countViolation[i].Value == 2
      fixCountViolation(i)
  for i = 0 to h2.maxRank
    if countViolation[i].Value == 1
      incCountViolation(i, searchBrother(countViolation[i].rmFirstviolation))
      fixCountViolation(i)

Источники

• INTUIT.ru — Толстые кучи
• CS center — Приоритетные очереди
• H.Kaplan, R.Tarjan. "Thin Heaps, Thick Heaps". 2006