Изменения

=={{Определение|definition==<tex> H_{n, k} = \{ h | h: 2^n \to 2^k \}</tex> называется '''семейством универсальных попарно независимых хеш-функций''', если для <tex> \forall x_1, x_2 \in 2^n, x_1 \ne x_2</tex> и <tex> \forall y_1, y_2 \in 2^k</tex> и равномерной выборке выборки функции <tex> h \in H_{n, k} </tex> будет выполнено <tex>P(h(x_1) = y_1 \land h(x_2) = y_2) = \frac{1}{2^{2k}}</tex>}}

{{Лемма|statement==Теорема==Для любых любого <tex>n, k \in N</tex> существует <tex>H_{n, kn}</tex>|proof= Рассмотрим функцию <tex> h_{a, b} = ((ax+b)\ mod\ p)\ mod\ 2^n</tex> для простого <tex>p \in (2^n; 2^{n+1}]</tex>, любых <tex>a, b \in \mathbb{Z}_p</tex>, <tex>a \ne 0</tex>

Для <tex>r=(ax_1+b)\ mod\ p</tex> и <tex>s=(ax_2+b)\ mod\ p</tex> <tex> P(r = r_1 \land s = s_1)= \frac{1}{p^2}</tex>, где <tex>r_1, s_1 \in [0; p)</tex>. Раз <tex>p \in (2^n; 2^{n+1}]</tex>, то можно записать следующую оценку: <tex>\frac{1}{p^2} \left(\frac{p}{2^n} \right)^2 \leqslant P(r\ mod\ 2^n =y_1 \land s\ mod\ 2^n=Леммаy_2) \leqslant \frac{1}{p^2} \left( \frac{p}{2^n}+1 \right)^2 </tex> <tex> P(h(x_1)=y_1 \land h(x_2)=y_2) = \frac{1}{2^{2n}}</tex> <tex>h_{a, b} \in H_{n, n}</tex>}}  {{Теорема|statement=Для любого любых <tex>n , k \in N </tex> существует <tex>H_{n, k}</tex>|proof=Построим <tex>H_{n, k}</tex>следующим образом: При <tex>n=k</tex> существование <tex>H_{n, что k}</tex> h_следует из леммы. При <tex>n > k </tex> получим переменную <tex> x' </tex> обрезав первые <tex>n-k</tex> бит переменной <tex>x</tex>. Тогда для переменной <tex>x'</tex> существует <tex>H_{ak, bk} = (ax+b)</tex> , а для любых <tex>ax</tex> - соответственно <tex>H_{n, k}</tex>. При <tex>n < k </tex> Сперва получим <tex>H_{k, bk}</tex> в поле . <tex> \mathbbH_{Fn, k}_</tex> можно получить отбросив у значений хеш-функций из <tex>H_{2nk, k}</tex>первые <tex>n-k</tex> бит.}} == См. также ==*[[Универсальное семейство хеш-функций]]== Источники ==*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%85%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Wikipedia - Универсальное хеширование] [[Категория: Хеширование]]