24
правки
Изменения
Выделены задачи в конспекты, добавлены ссылки, разделы в конце конспекта
Примечание — если требуется полиномиальное время для решения задачи, требуется, чтобы сведение к другой задаче и трансформация расписания в допустимое также происходили за полиномиальное время.
С помощью этого метода решаются:* Задачи Некоторые задачи класса Open Shop при условии <tex>p_{ij}=1</tex>, сводятся к задачам равной длительности на параллельных станках.* Задачи * <tex> O \mid p_{ij} = 1 \mid \sum w_i C_i </tex> ([[Opij1Sumwc|ссылка]])** <tex> O \mid p_{ij} = 1, r_i \mid C_{max} </tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 161</ref>* Некоторые задачи класса Flow Shop при условии <tex>p_{ij}=1</tex>, сводятся к задаче на одном станке. ** <tex> F \mid p_{ij} = 1 \mid \sum w_i U_i </tex> ([[Fpij1sumwu|ссылка]])
* Часто в задачах, в которых допускаются прерывания, оптимальный ответ совпадает с соответствующими задачами без прерываний:
** <tex> P \mid pmtn \mid \sum w_i C_i </tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 121</ref>** <tex> F2 \mid pmtn \mid C_{max} </tex>([[Flow_shop|ссылка]])* Многие Некоторые задачи проверки существования расписания сводятся к задаче поиска максимального потока:** <tex> Q \mid pmtn, r_i, d_i \mid - </tex> === Примеры ======= 1 | intree | Sum(w_i C_i) ====Предположим, что мы уже умеем решать [[1outtreesumwc|задачу <tex> S' = 1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i L_{max} </tex>]]<ref>P. Peter Brucker. Scheduling Algorithms (2006)«Scheduling Algorithms», 5th fifth edition, pSpringer — с. 73 129-133</ref>. Сведем нашу задачу <tex> S </tex> к ней следующим образом:* Развернем все ребра, теперь если работа <tex> i </tex> зависела от работы <tex> j </tex>, работа <tex> j </tex> будет зависеть от <tex> i </tex>.* Заменим все стоимости <tex> w_i </tex> на противоположные <tex> w'_i = - w_i</tex>.Утверждается, что решив соответствующую задачу <tex> S' </tex> и развернув полученное расписание, мы получим ответ для текущей задачи.# Полученное расписание будет допустимым, так как расписание для <tex> S' </tex> было допустимым, и в нем никакие две работы не пересекались и не прерывались. Развернув, мы не могли нарушить это свойство. Также из-за того, что мы развернули расписание, мы добились того, что все работы выполняются в правильном порядке (в расписании для <tex> S' </tex> из-за того, что все ребра были развернуты, порядок был нарушен для всех работ). Таким образом, получили что расписание — допустимое.# Пусть с помощью задачи <tex> S' </tex> мы получили последовательность работ <tex> 1 R \dots n </tex>. Распишем по определению значение целевой функции для <tex> S' </tex>:#: <tex>mid \sum -w_i C_i = \sum \limits_{i=1}^n ( -w_i \sum \limits_{j=1}^i p_j ) = \\\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i+1}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i = \\\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i p_i - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i </tex>#: Заметим, что первое слагаемое соответствует целевой функции <tex> mid \sum w_i C_i </tex> для последовательности <tex> n \dots 1 </tex>, а второе и третье слагаемые — константы, зависящие только от входных данных и не зависящие от перестановки работ. Таким образом, оптимальное значение для <tex> S' </tex> также минимизирует <tex> S </tex>, ч.т.д. ==== R || Sum(C_i) ====В этой задаче дано <tex> n </tex> работ и <tex> m </tex> станков, причем для каждого станка длительность выполнения на нем <tex>i</tex>-й работы своя и равна <tex> p_{ij} </tex>. Рассмотрим произвольное допустимое расписание для этой задачи. Рассмотрим какую-то станок <tex> j </tex>, пусть на нем выполняется <tex>n_j</tex> работ. Тогда вклад этого станка в целевую функцию (не теряя общности, пронумеруем работы на этом станке от <tex>1 </tex> до <tex>n_j</tex>) рассчитывается как: <tex> \sum\limits_{i=1}^{n_j} (p_ij + \sum\limits_{q=1}^{i-1} p_qj) = n_j p_{1j} + (n_j - 1) p_{2j} + \dots + 2 p_{(n_j-1)j} + p_{n_jj} </tex> Заметим, что в каждом допустимом расписании перед каждой работой окажется коэффициент <tex> k </tex>, означающий, что соответствующая работа выпллняется <tex> k </tex>-й с конца. Понятно, что в различных расписаниях <tex> k </tex> может принимать значения от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>. Сведем задачу к назначению каждой работы <tex> i </tex> позиции с конца <tex> k </tex> на станке <tex> j </tex> с помощью задачи [[Поток минимальной стоимости RSumCi| mincost-maxflowссылка]]. Поместим в левую долю графа работы, в правую долю — пары из станка и коэффициента и проведем соответствующие ребра пропускной способности <tex>1</tex> и стоимости <tex>k p_{ij}</tex>, соответствующие вкладу работы в целевую функцию, если она окажется в позиции <tex> k </tex> с конца на станке <tex> j </tex>. Проведем из стока в левую долю ребра стоимости <tex>0</tex> и пропускной способности <tex>1</tex>, из правой доли в сток — также ребра стоимости <tex> 0 </tex> и пропускной способности <tex>1</tex>. Найдем в этой сети максимальный поток минимальной стоимости. Утверждается, что если ребро <tex> i \to (j, k) </tex> насыщено потоком, то работа <tex> i </tex> в оптимальном расписании должна стоять на станке <tex> j </tex> в позиции <tex> k </tex> с конца. # Целевые функции задачи mincost-maxflow и текущей задачи совпадают, так как у ребер между долями пропускная способность 1, а у дополнительных ребер из истока и в сток нулевая стоимость, и они не могут внести вклад в целевую функцию.# Расписание, построенное по вышепредставленному способу действительно будет допустимым.## Благодаря ограничениям на поток, входящий в левую долю, каждая работа будет назначена только один раз.## Благодаря ограничениям на поток, выходящий из правой доли, на каждую позицию будет назначено не более одной работы.## Докажем, что не возникает ситуации такой, что существует такая позиция <tex> l * </tex>, что в этой позиции с конца стоит какая-то работа, а в позиции <tex> l - 1 </tex> с конца — нет (это противоречит определению <tex>l</tex>-й с конца работы). Такая ситуация означает, что ребро <tex> i \to (j, l) </tex> оказалось насышено потоком, а ребро <tex>i \to (j, l - 1) </tex> — не насыщено. Но стоимость ребра <tex> i \to (j, l - 1) </tex> меньше стоимости ребра <tex> i \to (j, l) </tex>, поэтому можем переместить поток с ребра <tex> i \to (j, l) </tex> на ребро <tex> i \to (j, l - 1) </tex>, не нарушив свойства потока и улучшив целевую функцию, что противоречит оптимальности ответа для mincost-maxflow. Следовательно, такой позиции не возникнет и расписание будет допустимым. ==== O | p_ij=1 | Sum(w_i C_i) ====Докажем, что оптимальный ответ для <tex> S </tex> равен оптимальному ответу к задаче <tex>S' = P \mid p_i=m, pmtn \mid \sum w_i C_i </tex>, где прерывания позволено делать только в целые моменты времени.# Целевые функции задач совпадают, поэтому из оптимальности <tex> S' </tex> следует оптимальность <tex> S </tex>.# Покажем, как получить из расписания <tex> S' </tex> допустимое расписание для <tex>S</tex> (в расписании для <tex>S'</tex> допустимость нарушает то, что на одном станке выполняется несколько блоков одной работы):## Построим двудольный граф, в левую долю которого поместим работы, а в правую — возможные моменты времени. Из вершины, соответствующей работе <tex> i </tex> будет идти ребро в вершину, соответствующую временному моменту <tex> t</tex>, если работа <tex> i </tex> в расписании для <tex> S' </tex> претендует на выполнение в момент времени <tex>t</tex>.## Раскрасим ребра этого графа в <tex>m</tex> цветов, из теории графов известно, что это можно сделать.## Назначим выполнение единичного элемента работы <tex>i</tex> в момент времени <tex>t</tex> на станке <tex>k</tex>, если соответствующее ребро раскрашено в цвет <tex>k</tex>.## После данного преобразования мы не изменим значение целевой функции (так как мы переставляем только элементы работ, выполняющихся в один и тот же момент времени). Также расписание станет допустимым для <tex> S </tex>, так как по определению реберной раскраски, не будет ни одной работы, два единичных блока которых выполняется на одном станке и во все моменты времени не окажется того, что на один станок назначено две работы.Чтобы непосредственно решить эту задачу, воспользуемся теоремой о том, что для задачи <tex> P \mid p_i=m, pmtn intree \mid \sum w_i C_i </tex> существует оптимальное расписание без прерываний<ref>P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006[[1outtreesumwc|ссылка]]), 5th edition, p. 121 </ref>. Известно, что для того, чтобы получить оптимальное расписание для такой задачи без прерываний, надо помещать работы по очереди на станки <tex>1 \dots m </tex> в порядке убывания весов. Длительности у всех работ совпадают, поэтому расписание будет состоять из <tex> \lfloor \frac{n}{m} \rfloor </tex> блоков по <tex> m </tex> работ и, возможно, одного неполного блока из <tex> n \mod m </tex> работ. Таким образом, аналогично задаче <tex> O \mid p_{ij}=1 \mid C_{max}</tex>, чтобы получить допустимое расписание, можно не строить раскраску графа, а просто циклически сдвигать последовательности работ внутри каждого блока, что позволяет достичь асимптотики <tex> O(m n) </tex>.
== Построение расписания по нижней оценке ==
С помощью этого метода решаются:
* <tex> P \mid pmtn \mid C_{max}</tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 108</ref>* <tex> R \mid pmtn \mid C_{max}</tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 137-139</ref>* <tex> O \mid p_{ij}=1 \mid C_{max}</tex>([[Opij1Cmax|ссылка]])* <tex> Q \mid pmtn \mid C_{max}</tex> ([[QpmtnCmax |ссылка]])
# В допустимом расписании выполнение всех работ не может завершиться раньше одной из них, поэтому <tex> T \ge p_i </tex>.
# Если все станки работали время <tex> T </tex>, на них могло выполниться не больше <tex> Tm </tex> работы, то есть <tex> \sum\limits_i p_i \le Tm </tex> и <tex> T \ge \frac1m \sum\limits_i p_i </tex>.
# Тогда <tex> T_{min} = \max {(\max\limits_i p_i, \frac1m \sum\limits_i p_i)} </tex>.
Построим расписание, подходящее под эту границу: будем по очереди заполнять машины работами в произвольном порядке, и если очередная работа не помещается на текущей машине полностью, перенесем ее выходящую за <tex> T_{min} </tex> часть на следующую машину. Благодаря первому ограничению никакая работа не будет выполняться одновременно на двух станках, а благодаря второму — не останется работы, которую мы не сможем выполнить.
== Бинарный поиск по ответу ==
Этим методом решаются:
* <tex> Q \mid pmtn, r_i \mid L_{max} </tex> ([[QpmtnriLmax |ссылка]])
== Жадное построение расписания ==
С помощью этого метода решаются:
* <tex> 1 \mid prec \mid f_{max} </tex> ([[Правило Лаулера|''Lawler's algorithm]])
* <tex> 1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i </tex>([[1outtreesumwc|ссылка]])* <tex> 1 \mid p_i = 1 \mid \sum w_i U_i </tex> ([[1pi1sumwu|''Earliest Due Date rule'']])* <tex> 1 \mid \mid \sum U_i </tex>([[1sumu|ссылка]])
Обычно оптимальность жадного выбора доказывают двумя способами:
=== Правильно ===
# <tex> f(O') \le f(O) </tex>, то есть <tex> O' </tex> также оптимально.
# <tex> O' </tex> «более похоже» на <tex> S </tex>, чем на <tex> O </tex>.
Отношение «более похоже» должно быть [[Отношение порядка | отношением частичного строгого порядка]]. Часто в качестве него можно выбрать отношение «длина наибольшего общего префикса решения <tex> A </tex> и <tex> S </tex> меньше наибольшего общего префикса решения <tex> B </tex> и <tex> S </tex>». Тогда если мы сможем увеличить длину наибольшего общего префикса для оптимального решения, не нарушив оптимальности, мы приблизимся к <tex> S </tex>. Можно выбирать и более сложные отношения, например, в доказательстве оптимальности алгоритма <tex> P \mid \mid \sum w_i C_i </tex> для решения задачи <tex> P \mid pmtn \mid \sum w_i C_i </tex> используется отношение «время последнего прерывания больше или количество прерываний меньше».
== См. также. ==
* [[Правило Лаулера]]
* [[Flow shop]]
* [[Opi1sumu|<tex> O \mid p_{ij} = 1 \mid \sum U_i</tex>]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
* Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer ISBN 978-3-540-69515-8
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория расписаний]]
