Изменения
→46. О размерности Ker(I-A) компактного А.
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru
==Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)==
{{Теорема
|statement=
<tex>X</tex> - полное МП, <tex>\overline{V}_{r_i} \subset X,\; \overline{V}_{r_ir_{i+1}} \subset \overline{V}_{r_{i+1}r_i},\; r_i \rightarrow 0 \Rightarrow \exists ! d \in \cap \overline{V}_{r_i}</tex>
}}
===5. Компактность прямоугольника в <tex>R^{\infty}</tex>.===
===6. Постранство S(E, <tex>\mu</tex>).===
|author=Рисс, о почти перпендикуляре
|statement=
<tex>Y</tex> - собственное подпространство <tex>X,\;Y \neq X \Rightarrow \forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)|proof=<tex>\forall z \notin Y \; \forall \varepsilon\; \exists y_{\varepsilon} \in Y : \rho(z, Y) \leq \|z - y_{\varepsilon}\| \leq \frac{1}{1 - \varepsilon} \cdot \rho(z, Y)</tex> (по свойствам inf). Тогда положим <tex>z_{\varepsilon}</tex> из условия леммы равным <tex>\frac{z - y_{\varepsilon}}{\|z - y_{\varepsilon}\|}</tex>
}}
{{Лемма
===13. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.===
===14. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.===
{{Лемма
|statement=
В гильбетовом гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно
}}
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - биективный ограниченный линейный ограниченный оператор из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> , и <tex>\exists m\; \forall x \in X : m \|x\| \leq \|Ax\|</tex>. Тогда <tex>R(оба БанаховыA). Тогда </tex> замкнуто, <tex>\exists A^{-1}:Y \to X,\; \|A^{-1}\| < +\infty</tex>
}}
===30. Теорема Банаха об обратном операторе.===
===31. Теорема о замкнутом графике.===
===36. Аналитичность резольвенты.===
эммм...
===37. Непустота спектра ограниченного оператора.===
эммм...
===38. А* и его ограниченность.===
{{Определение
|definition=
'''Сопряженным''' к оператору <tex>A : X \to Y</tex> называется такой оператор <tex>A^* : Y^* \to X^*</tex>, что <tex>A^* \varphi = \varphi \circ A</tex>, то есть <tex>A^*\varphi = f : f(x) = \varphi(Ax)</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>\|A\|=\|A^*\|</tex>
}}
===39. Ортогональные дополнения Е и Е*.===
{{Определение
|definition=
'''Ортогональным дополнением''' линейного множества <tex>M \subset E</tex> называется множество <tex>M^{\perp} = \{f \in E^* \mid \forall x \in M f(x) = 0\}</tex>.
<tex>M^{*\perp} = \{x \in E \mid \forall f \in M^* f(x) = 0\}</tex>. Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>E^{\perp} = \{0\},\; E^{*\perp} = \{0\}</tex>
}}
===40. Ортогональное дополнение R(A).===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A) = (Ker A^*)^{\perp}</tex>
}}
===41. Ортогональное дополнение R(A*).===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A^*) = (Ker A)^{\perp}</tex>
}}
===42. Арифметика компактных операторов.===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''компактен''', если <tex>\forall G : G</tex> - ограниченное <tex>\Rightarrow A(G)</tex> - относительно компактно
}}
{{Лемма
|statement=
Компактные операторы обладают следующими свойствами:
#<tex>A</tex> - компактный, <tex>B</tex> - ограниченный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>AB</tex> и <tex>BA</tex> - компактные
#<tex>A_n</tex> - компактные, <tex>A_n \to A</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A</tex> - компактный
#<tex>A : X \to Y</tex> - компактный, <tex>X</tex> - бесконечномерно <tex>\Rightarrow</tex> оператор <tex>A</tex> не может быть непрерывно обратим
}}
===43. О компактности А*, сепарабельность R(A).===
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактный
}}
===44. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.===
{{Определение
|definition=
Система точек <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots \} \subset X</tex> называется '''базисом Шаудера''', если любой элемент пространства <tex>X</tex> единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек
}}
===45. Почти конечномерность компактного оператора.===
{{Теорема
|statement=
<tex>X</tex> - пространство с базисом Шаудера, <tex>A : X \to X</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall \varepsilon \; \exists B, C : A = B+C,\; \|C\| < \varepsilon,\; B</tex> - конечномерный (то есть <tex>R(B)</tex> конечномерно), <tex>B</tex> и <tex>C</tex> компактны
}}
===46. О размерности Ker(I-A) компактного А.===
{{Лемма
|statement=
<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow \dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex>
}}
===47. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения.===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A \in L(E, F) </tex>, и <tex> \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y</tex>. Тогда <tex> R(A) </tex> - замкнуто.
}}
===48. О замкнутости R(I-A) компактного А.===
{{Лемма
|statement=
Пусть оператор <tex> A </tex> - компактный. Тогда <tex> R(I - A) </tex> - замкнуто
}}
===49. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А.===
{{Лемма
|statement=
Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда <tex> \exists k : Ker(I - A)^{k + 1} = Ker(I - A)^k</tex>
}}
===50. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е.===
{{Лемма
|statement=
Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда <tex> R(I - A) = X \Leftrightarrow Ker(I - A) = \{0\}</tex>
}}
===51. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.===
{{Теорема
|author=альтернатива Фредгольма - Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A : X \to X</tex> - компактный. Рассмотрим уравнение <tex>y = x - Ax</tex>. Возможны 2 случая:
#<tex>Ker(I-A) = \{0\}</tex>. Тогда уравнение имеет решение при любом <tex>y</tex>
#<tex>Ker(I-A) \neq \{0\}</tex>. Тогда уравнение имеет решение при <tex>y \in (Ker (I-A)^*)^{\perp}</tex>
}}
===52. О спектре компактного оператора.===
{{Теорема
|statement=
Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда его спектр не более, чем счетный, и предельной точкой в нем может быть только <tex>0</tex>
}}
'''Def.''' <tex> m_{-} = \inf_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex>
'''Def.''' <tex> m_{-+} = \sup_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex>
'''Def.''' Если для некоторого оператора <tex>L : \langle Ax, x \rangle \ge 0 </tex>, то <tex>L</tex> называется '''неотрицательным'''.
