Теорема Вагнера

Определение:

Минором графа (англ. Graph minor) G будем называть граф H, если H может быть образован из G удалением рёбер и вершин и стягивания рёбер.

Теорема:

Граф планарен тогда и только тогда, когда его миноры не содержат ни [math] K_{5} [/math] ни [math] K_{3, 3} [/math] .

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Иначе говоря в соответствии с теоремой Понтрягина-Куратовского, теорему можно переформулировать: "В графе G есть миноры содержащие [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math]" Разделим доказательство на две части Если в G существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math], тогда в G существует подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math]. Если в G существует минор содержащий [math] K_{5} [/math], тогда в G существует подграф гомеоморфный либо [math] K_{3, 3} [/math] , либо [math] K_{5} [/math]. Доказательство первой части Если в G существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math],значит существуют вершины [math] U_{1} [/math],[math] U_{2} [/math],[math] U_{3} [/math],[math] W_{1} [/math],[math] W_{2} [/math],[math] W_{3} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для каждого i и j существует [math] {u_{i, j} \in U_{i}} [/math] и [math] {w_{i, j} \in W_{j}} [/math], такие что ([math] {u_{i,j}} [/math],[math] {w_{i,j}} [/math]) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого i существует поддерево в G с тремя листами как минимум, по одиному лист в каждом [math] W_{j} [/math], и с его другими вершинами внутри [math] U_{i} [/math]. Ситуация с j симметрична. В следствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно [math] K_{1, 3} [/math]. Таким образом, в G существует подграф гомеоморфный шести копиям [math] K_{1, 3} [/math] соедененные три на три, т.е. получаем [math] K_{3, 3} [/math]. Доказательство второй части Если в G существует минор содержащий [math] K_{5} [/math],значит существуют вершины [math] U_{1} [/math]...[math] U_{5} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для всех [math] {i \ne j} [/math] существует [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} [/math] и [math] {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} [/math], такие что ( [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} [/math]) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого i существует поддерево [math] T_{i} [/math] в G с четырьмя листьями, по одному листу в каждом [math] U_{j} [/math] ([math] {i \ne j} [/math]) и с остальными вершинами внутри [math] U_{i} [/math]. В следствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо [math] K_{1, 4} [/math] либо двум связным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Значит в G есть подграф гомеоморфный пяти копиям [math] K_{1, 4} [/math], соедененные друг с другом. Т.е. получаем [math] K_{5} [/math]. В противном случае подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math] может быть получен с помощью следущих процедур: Берем одну из [math] T_{i} [/math] гочеоморфную двум соедененным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Назовем их [math] T_{i, r} [/math] и [math] T_{i, b} [/math]. Покрасим в красный вершины [math] T_{i, r} [/math], за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий. Покрасим в синий вершины [math] T_{i, b} [/math], за исключением двух вершин которые окрашены в красный. Покрасим в синий вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, r} [/math]. Покрасим в красный вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, b} [/math]. Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных [math] T_{j} [/math]. Такое "обрезание" привидет к тому что [math] T_{j} [/math] будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины. Граф сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен [math] K_{3, 3} [/math].

[math]\triangleleft[/math]