Использование обхода в глубину для поиска мостов

Постановка задачи

Дан неориентированный граф [math] G [/math]. Найти все мосты в [math] G [/math] за время [math] O(|V| + |E|)[/math]

Алгоритм

Теория

Теорема:

Пусть [math] T [/math] - дерево обхода в глубину графа [math] G[/math]. Ребро [math] (u, v) [/math] является мостом тогда и только тогда, когда [math] (u, v) \in T[/math] и из вершины [math] v[/math] и любого ее потомка нет обратного ребра в вершину [math] u[/math] или предка [math] u [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \Leftarrow[/math] Удалим [math] (u, v)[/math] из [math] G[/math] Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков [math] v [/math] (в частности [math] u [/math]). Пусть это не так, и [math] w[/math] - предпоследняя вершина на пути от [math] v[/math] до ее предка [math]x [/math]. Очевидно, [math] (w, x)[/math] не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если [math] (w, x)[/math] - обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, т.к. [math] x[/math] - предок [math] u[/math] [math] \Rightarrow[/math] Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро [math](x, w)[/math]. Тогда [math](u, v)[/math] лежит на цикле [math]x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x[/math] и не может быть мостом.

[math]\triangleleft[/math]

Функция [math]ret(v)[/math]

Определим функцию [math]ret(v)[/math], где [math]v \in V[/math], как минимум из следущих величин
[math]enter(v)[/math]
[math]enter(x)[/math], где [math]x[/math] - потомок [math]v[/math]
[math]enter(x)[/math], где [math](w, x)[/math] - обратное ребро, а [math]w[/math] - потомок [math]v[/math] (в нестрогом смысле)

Лемма:

Ребро [math](u, v)[/math] является ребром тогда и только тогда, когда [math](u, v)[/math] принадлежит дереву обхода в глубину и [math]ret(v) \gt enter(u)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как на пути от вершины к корню дерева величины [math]enter[/math] убывают, то [math]ret(v)[/math] возвращает величину [math]enter[/math] для ближайшей к корню вершины, достижимой из [math]v[/math] или ее потомка, возможно используя одно обратное ребро. Следовательно, из вершины [math]v[/math] или ее потомков существует обратное ребро потомка [math]u[/math] или саму [math]u[/math] тогда и только тогда, когда [math]ret(v) \lt = enter(u)[/math]. По доказанной теореме, отсутствие такого ребра эквивалентно тому что [math](u, v)[/math] - мост.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math]ret(v)[/math] = минимум из [math]enter(v) [/math] [math]enter(p)[/math], [math](v, p)[/math] - обратное ребро [math]ret(u)[/math], [math](v, u)[/math] - ребро дерева

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1)[math]enter(v) [/math] По определению функции [math]ret[/math] 2)[math]enter(p)[/math], [math](v, p)[/math] - обратное ребро [math]p[/math] достижима из [math]v[/math] по одному обратному ребру, значит величина [math]ret(v)[/math] не больше [math]enter(p)[/math] 3)[math]ret(u)[/math], [math]u[/math] - потомок [math]v[/math] Так как вершина [math]u[/math] - потомок [math]v[/math], то обратное ребро из ее поддерева является обратным ребром из поддерева [math]v[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

dfs([math] v [/math])
  [math] time \leftarrow time + 1[/math]
  [math]enter[v] \leftarrow time[/math]
  [math]ret[v] \leftarrow time [/math]
  for всех [math]u[/math] смежных с [math]v[/math]
    if [math](v, u)[/math] - обратное ребро
      [math]ret[v] \leftarrow min(ret[v], enter[u])[/math]
    if вершина [math]u[/math] - белая
      dfs(u)
      [math] ret[v] \leftarrow min(ret[v], ret[u]) [/math]
      if [math]ret[u] \gt  enter[v][/math] 
        ребро [math](v, u)[/math] - мост