264
правки
Изменения
м
Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на M входов, такие ,что M относительно мало{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center |footer = См. Мы назовем их M[[другая статья|другую статью]] |footer-style = background-color:lightgray;text-сортировщикамиalign:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для любых выбранных положительных целых чисел M и N таких что N каждой работы заданы время выполнения <tex>= M, конструкция будет включать в себя N проводовp_i, </tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и будет сделана из M-сортировщиков, глубина которых в худшем случае (48 + о(1))log(N, M) + 115 при M → infстоимось выполнения этой работы <tex>w_i \geqslant 0</tex>.(Стоит подчеркнуть, что асимптотическое о(1) здесь по отношению к М, а не N)Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex>.}}
Сначала введем Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.#Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.#Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все необходимые понятия для построения сортирующей сетиработы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.
Нет описания правки
<tex dpi ="200" >1 \mid\mid \sum w_i U_i</tex>{{Утверждение|id= Введение krit_dol3|statement=Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.|proof=Ажтаи (Ajtai)[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, Комлос (Komlos) снаружи которого нет точек. В пересечении угла и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины O(nlogn)плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Они Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не соседотачивались на значении константы, скрытой триангуляция <tex>\implies</tex> точек в O-нотации. Впоследствии Патерсон заменил O(logn) на clog(n, 2) тетраэдре нет <tex>\implies</tex> плоскостью <tex>ABC</tex> можно отделить пространство с константой приблизительно равной 6100точками <tex>\implies</tex> выполняется глобальный критерий. Здесь будет описана более поздняя реализация}}Будем называть '''хорошими''' те рёбра, которая включает в себя меньшую константу с : для любого целого числа N такого,что N >которых выполняется локальный критерий Делоне.{{Лемма|about=4|id=fliplemmasphere|statement= 2 ^ 78 существует сортирующая сеть на N входовИз двух рёбер, такая, что глубина в худшем случае будет 1830 * log(Nкоторые можно провести для пары треугольников, 2) – 58657как минимум одно хорошее.|proof=}}
== Сепараторы Решение==Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
Отсюда, получим соотношение:
<p>
<tex>
F_j(t) =
\left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \\
F_j(d_j), & d_j < t < T
\end{array} \right.
</tex>
</p>
В качестве начальных условий следует взять <tex>F_j(t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.
Ответом на задачу будет <tex>F_n(d_n)</tex>. Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex> обозначим самое большое из времен выполнения заданий. отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>d_i</tex> <tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex> '''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex> '''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex> F_j(t) = \infty '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex> F_0(t) = 0 '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex> '''if''' <tex> F_{j-1}(t) + w_j < F_{j-1}(t-p_j) </tex> <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex> '''else''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t-p_j) </tex> '''for''' <tex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex> <tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex> Время работы данного алгоритма {{---}} <tex> O(logNn \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>. Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом: t = d_n L = \varnothing '''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex> <tex>t = \min(t, d_j) </tex> '''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex> <tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex> '''else''' <tex> t = t - p_j </tex> ==Доказательство корректности и оптимальности== {{Лемма|id=lemma1|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex>, такое, что <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> {{---}} номера просроченных работ.|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. #Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции. #Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>S</tex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex>, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.#*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться.}} ==См. также ==* [[Классификация задач]]* [[1ripipsumwu|<tex> 1 \mid r_i,p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]* [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid \sum w_{i}U_{i}</tex>]]* [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]] == Источники информации ==* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 26 - 28
