AA-дерево

АA-дерево (англ. AA-Tree) — структура данных, представляющая собой сбалансированное двоичное дерево поиска, которое является разновидностью красно-черного дерева с дополнительными ограничениями.

АA-дерево названо по первым буквам имени и фамилии изобретателя, Арне Андерссона, который впервые предложил данную модификацию B-дерева в 1993 году.

Определение:

Уровень вершины (англ. Level) - вертикальная высота соответствующей вершины. Уровень листа равен 1.

В отличие от красно-черных деревьев, к одной вершине можно присоединить вершину только того же уровня, только одну и только справа (другими словами, красные вершины могут быть добавлены только в качестве правого ребенка).

Свойства

• Уровень каждого листа равен 1.
• Уровень каждого левого ребенка ровно на один меньше, чем у его родителя.
• Уровень каждого правого ребенка равен или один меньше, чем у его родителя.
• Уровень каждого правого внука строго меньше, чем у его прародителя.
• Каждая вершина с уровнем больше 1 имеет двоих детей.

Для поддержки баланса красно-черного дерева необходимо обрабатывать 7 различных вариантов расположения вершин:

В АА-дереве из-за строгих ограничений необходимо обрабатывать только два вида возможных расположений вершин:

Балансировка

Для балансировки АА-дерева нужно две операции:

1. Skew(p) — устранение левого ребра, соединяющего вершину p с вершиной того же уровня, что у p.

function skew is
   input: T, a node representing an AA tree that needs to be rebalanced.
   output: Another node representing the rebalanced AA tree.

   if T == NULL then
       return NULL
   else if left(T) == NULL then
       return T
   else if level(left(T)) == level(T) then
       Swap the pointers of horizontal left links.
       L = left(T)
       left(T) := right(L)
       right(L) := T
       return L
   else
       return T
   end if
end function

1. Split(p) — устранение двух последовательных правых ребер, которые соединяют вершины с одним уровнем.

function split is
   input: T, a node representing an AA tree that needs to be rebalanced.
   output: Another node representing the rebalanced AA tree.

   if nil(T) then
       return Nil
   else if nil(right(T)) or  nil(right(right(T))) then
       return T
   else if level(T) == level(right(right(T))) then
       We have two horizontal right links.  Take the middle node, elevate it, and return it.
       R = right(T)
       right(T) := left(R)
       left(R) := T
       level(R) := level(R) + 1
       return R
   else
       return T
   end if
end function