Примеры сведения к задачам поиска потока

Пример №1

Задача:

Дано поле размером N * M, некоторые клетки поля закрашены. В одной из незакрашенных клеток поля стоит монстр, он умеет ходить только по незакрашенным клеткам (из текущей клетки он может пойти только в ту клетку, с которой имеет общую сторону). Какое минимальное количество клеток нужно закрасить, чтобы монстр не смог выбраться за пределы поля?

Во-первых, выбраться за пределы поля эквивалентно тому, что монстр может дойти до какой-либо крайней клетки. Во-вторых, заметим, что максимальное количество клеток, которые нужно закрасить, равно 4, т.к. можно закрасить клетку справа, слева, снизу и сверху от изначальной позиции монстра, чтобы он не смог никуда двигаться.

Покажем то, что минимальное количество клеток, которое нужно закрасить, равно максимальному количеству клеточно-непересекающихся путей из позиции монстра до крайних клеток поля. Очевидно, что ответ не больше, чем количество всех путей от монстра до крайних клеток. Сделаем ещё более строгое неравенство: ответ не больше, чем максимальное количество клеточно-непересекающихся путей, т.к. если мы возьмём какие-нибудь 2 пересекающихся пути и закрасим клетку в позиции, где они пересекаются, то мы блокируем путь монстру сразу по 2 этим путям. С другой стороны, если мы закрасим клетку на каком-то из путей, то у нас блокируется только этот путь, т.к. мы взяли клеточно-непересекающиеся пути. Значит, ответ не меньше, чем количество таких путей. В итоге получаем то, что и хотели доказать.

Рассмотрим сеть, в которой вершинам будут соответствовать незакрашенные клетки поля, соседние незакрашенные клетки соединим ориентированными рёбрами с пропускной способностью 1. В качестве истока возьмём вершину, которой соответствует клетка монстра. Добавим в граф ещё одну вершину - сток, добавим рёбра из вершин, соответствующим крайним клеткам поля, в сток с пропускной способностью 1. Чтобы пути клеточно-непересекались, раздвоим каждую вершину графа на 2 вершины: в одну будут только входить рёбра, из другой - только выходить рёбра, и сами эти вершины соединим ребром с пропускной способностью 1.

Используя алгоритм Диница, найдём максимальный поток в сети. Согласно теореме о декомпозиции, нахождение максимального потока эквивалентно тому, что мы нашли максимальное количество путей из истока в сток. Т.е. требуемый ответ на задачу равен максимальному потоку.