Изменения

Покажем то, что минимальное количество клеток, которое нужно закрасить, равно максимальному количеству клеточно-непересекающихся путей из позиции Минотавра до крайних клеток поля. Очевидно, что ответ не больше, чем количество всех путей от Минотавра до крайних клеток. Сделаем ещё более строгое неравенство: ответ не больше, чем максимальное количество клеточно-непересекающихся путей, т.к. если взять какие-нибудь <tex>2 </tex> пересекающихся пути и закрасить клетку в позиции, где они пересекаются, то блокируется выход за пределы поля сразу по <tex>2 </tex> этим путям. С другой стороны, если закрасить клетку на каком-то из путей, то блокируется только этот путь, т.к. были взяты клеточно-непересекающиеся пути. Значит, ответ не меньше, чем количество таких путей. В итоге получаем то, что и хотели доказать.

Рассмотрим [[Определение сети, потока#flow_network|сеть]], в которой вершинам будут соответствовать незакрашенные клетки поля, соседние незакрашенные клетки соединим ориентированными рёбрами с пропускной способностью <tex>1</tex>. В качестве истока возьмём вершину, которой соответствует клетка Минотавр. Добавим в граф ещё одну вершину — сток, добавим рёбра из вершин, соответствующим крайним клеткам поля, в сток с пропускной способностью <tex>1</tex>. Чтобы пути не пересекались по клеткам, раздвоим каждую вершину графа на <tex>2 </tex> вершины: в одну будут только входить рёбра, из другой — только выходить рёбра, и сами эти вершины соединим ребром с пропускной способностью <tex>1</tex>.

Время работы алгоритма Форда-Фалкерсона <tex>O(E|f|)</tex>. Первое замечание: <tex>E</tex> <tex>\leqslant</tex> <tex>4V</tex> <tex>\leqslant</tex> <tex>4NM</tex> (это следует из того, что из каждой вершины исходит не более <tex>4 </tex> рёбер), т.е. <tex>E=O(NM)</tex>. Второе замечание: ответ не превосходит <tex>4</tex>, т.к. можно закрасить клетку слева, справа, сверху и снизу от позиции Минотавра и он не сможет никуда двигаться, поэтому <tex>|f|</tex> можно считать константой. Итоговое время работы <tex>O(NM)</tex>.