Изменения

{{Теорема|statement===Алгоритм разделения АВЛ-дерева Задача о проверке на два, где в первом дереве все ключи меньше заданного x, а во втором пустоту пересечения двух КС- больше==грамматик неразрешима.|proof=Пусть у нас есть дерево <tex>T</tex>. Мы должны разбить его на два дерева <tex>T_A = \{1(G_1, G_2) \mid L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing \}</tex> и . Сведем [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблему соответствий Поста]] к <tex>T_\overline{2A}</tex> такие, таким образом показав, что <tex>T_{1} \leqslant x</tex> дополнение проблемы неразрешимо. Так как рекурсивные языки [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и <tex>x < T_{2}</tex>алгебраических операций|замкнуты относительно дополнения]], то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы.

ПредположимДля любого экземпляра ПСП <tex>(x_1, x_2, что корень нашего дерева ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n)</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex> можно подобрать символ <tex>\# \notin \Sigma</tex>. Для каждого экземпляра построим грамматики:* <tex>G_1 : S \rightarrow aSa \mid a\#a</tex> для всех <tex>a \in \Sigma</tex>. Тогда <tex>L(G_1) = \{ w\#w^R \leqslant xmid w \in \Sigma^* \}</tex>, в таком случае все левое поддерево вместе с корнем после разделения отойдет в дерево где обозначение <tex>T_w^R</tex> {1{---}}разворот <tex>w</tex>. Тогда рекурсивно спускаемся в правое поддерево и там проверяем это условие (так как часть правого поддерева тоже может содержать ключи * <tex>G_2 : S \leqslant xrightarrow x_iSy^R_i \mid x_i\#y^R_i</tex>). Если же корень оказался для всех <tex>i = 1, 2, \dots n</tex> x. Тогда </tex>L(G_2) = \{ x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_m} \# (y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_m})^R \mid i_1, то мы спускаемся той же рекурсиейi_2, но только в левое поддерево и ищем там\dots i_m \in \{ 1, 2, \dots n \}, m \geqslant 1 \}</tex>.

Пусть мы пришли в поддерево Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то <tex>SL(G_2)</tex>, корень которого содержит хотя бы одну строку вида <tex>w\leqslant x#w^R</tex>. В таком случае этот корень со своим левым поддеревом должен отойти в дерево , поэтому <tex>T_{1}L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing</tex>. Поэтому мы делаем следующее: запоминаем ссылку на правое поддерево , и наоборот, если он не имеет решения, то <tex>SL(G_2)</tex>не содержит строк такого вида, удаляем корень, запоминая его значение соответственно <tex>L(G_1) \cap L(не меняя конфигурацию дерева, то есть просто делаем ссылки на него NULL'амиG_2)= \varnothing</tex>.  Таким образом, мы имеем сбалансированное АВЛ-дерево (бывшее левое поддерево свели проблему соответствий Поста к <tex>S\overline{A}</tex>), следовательно, задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.}}Из неразрешимости вышеприведенной задачи следует неразрешимость ряда других задач. Рассмотрим несколько примеров. Делаем новую вершину со значением бывшего корня правым листом самого правого листа  По двум КС-грамматикам <tex>SG_1</tex> и запускаем балансировку. Обозначим полученное дерево за <tex>tmpTG_2</tex>можно построить КС-грамматику для [[Замкнутость КС-языков относительно различных операций#.D0.9A.D0.BE.D0.BD.D0.BA.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BD.D0.B0.D1.86.D0. Теперь нам нужно объединить его с уже построенным ранее B8.D1.8F|конкатенации]] задаваемых ими языков <tex>T_{1}L(G_1)L(G_2)</tex> (оно может быть пустым, если . По аналогии с этим мы первый раз нашли такое дерево можем рассматривать язык <tex>SL(G_1)\#L(G_2)\#</tex>). Для этого мы ищем в дереве , где <tex>T_{1}\#</tex> самое правое поддерево {{---}} новый символ, не встречающийся в алфавите. Заметим, что пересечение языков непусто, то есть <tex>PL(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex> высоты, равной высоте тогда и только тогда, когда <tex>tmpTL(G_1)\#L(G_2)\#</tex> (спускаясь от корня всегда в правые поддеревья)содержит [[Алгоритм Ландау-Шмидта#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|тандемный повтор]]. Делаем новое дерево  Аналогично можно заметить, что пересечение <tex>KL(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex>тогда и только тогда, сливая когда <tex>PL(G_1)\#L(G_2)^R</tex> и содержит палиндром.  Таким образом, мы имеем:{{Утверждение|statement= Пусть дана грамматика <tex>tmpTG</tex>. Теперь в дереве , <tex>T_{1}L(G) = L</tex> у отца вершины, в которой мы остановились при поиске дерева . Тогда следующие задачи неразрешимы:# Содержит ли <tex>PL</tex>, правым поддеревом делаем дерево тандемный повтор.# Содержит ли <tex>KL</tex> и запускаем балансировкупалиндром.}}