Гиперграфы

Определение:

Гиперграфом (англ. hypergraph) [math]H[/math] называют такую пару [math]H = (X, E)[/math] , где [math]X - [/math] множество вершин, а [math]E -[/math] семейство подмножеств [math]X[/math] , называемых гиперребрами (англ. hyperedges)

Обычные графы, у которых ребра могут соединять только две вершины, являются частным случаем гиперграфа, у которых все гиперребра содержат только две вершины.

Рис. 1: Гиперграф с множеством вершин [math]V = \{ v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7 \}[/math] и гиперребрами [math]E = \{ \{ v_1, v_2, v_3 \} , \{ v_2, v_3 \} , \{ v_3, v_5, v_6 \} , \{ v_4 \} \}[/math]

Основные понятия гиперграфов

Определение:

Путем (англ. path) между двумя гиперребрами [math]e_i[/math] и [math]e_j[/math] гиперграфа [math]H[/math] называется последовательность гиперребер [math]e_{u_1}, e_{u_2} , \ldots ,e_{u_k}[/math] таких что : [math]e_{u_1} = e_i [/math] и [math]e_{u_k} = e_j[/math] [math]\forall v: 1 \leqslant v \leqslant k-1, e_v \cap e_{v+1} \ne \emptyset[/math]

Определение:

Гиперграф [math]H[/math] называется связным (англ. connected) тогда и только тогда, когда существует путь между каждой парой гиперребер.

Рис. 2: Связный гиперграф

Пусть [math]E - [/math] набор гиперребер, [math]e_1[/math] и [math]e_2 - [/math] элементы [math]E[/math] и [math]q = e_1 \cap e_2[/math].

Определение:

[math]q[/math] называется сочленением (англ. articulation) [math]E[/math] , если при его удалении из всех гиперребер [math]E[/math], множество разрывается.

На рис.2 [math]q = e_4 \cap e_6 = \{ x_{12}, x_{13}\}[/math] является сочленением [math]E[/math].

Матрица инцидентности

Пусть дан гиперграф [math]H = (X, E)[/math] , где [math] X = \{ x_1, x_2, \ldots , x_n \}[/math] и [math] E = \{ e_1, e_2, \ldots , e_m \}[/math]. Любой гиперграф может задаваться матрицей инцидентности (смотри матрицу инцидентности в обычном графе) [math]A = (a_{ij}) [/math] размером [math] n \times m[/math], где

[math] a_{ij} = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & x_i \in e_j \\ 1 & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. [/math]

Так например, для гиперграфа на рис.1 мы можем построить матрицу инцидентности по таблице отношения принодлежности вершины к гиперребру:

	[math]e_1[/math]	[math]e_2[/math]	[math]e_3[/math]	[math]e_4[/math]
[math]v_1[/math]	✓
[math]v_2[/math]	✓	✓
[math]v_3[/math]	✓	✓	✓
[math]v_4[/math]				✓
[math]v_5[/math]			✓
[math]v_6[/math]			✓
[math]v_7[/math]

[math] A = [/math] [math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}[/math]

Ацикличность в гиперграфе

Определение:

Простым циклом длины [math]s[/math] в гиперграфе [math]H = (V, E)[/math] называется последовательность [math]( A_0, v_0, A_1, \ldots , A_{s - 1}, v_{s - 1}, A_s)[/math] , где [math]A_0 , \ldots , A_{s - 1} -[/math] различные ребра [math]H[/math] , ребро [math]A_s[/math] совпадает с [math]A_0[/math] , а [math]v_0, \ldots , v_{s - 1} -[/math] различные вершины [math]H[/math] , причем [math]v_i \in A_i \cap A_{i+1}[/math] для всех [math] i = 0, \ldots , s - 1[/math].

Рис. 3: Простейший случай цикла в гиперграфе

Универсальным способом задания гиперграфа является кенигово представление.

Определение:

Кенигово представление гиперграфа [math] H = (V, E) -[/math] обыкновенный двудольный граф [math]K(H)[/math] , отражающий отношение инцидентности различных элементов гиперграфа, с множеством вершин [math]V \cup E [/math] и долями [math]V, E[/math].

Первым, кто дал определение ацикличности гипергафа является Клауд Берж:

Теорема:

Гиперграф [math]H[/math] не содержит циклов в том случае, если его кенигово представление [math]-[/math] ацикличный граф, сожержит в противном случае.

Таким образом, если у нас есть цикл в графе кенигова представления, значит и сам гиперграф имеет цикл.

Рис. 4: Пример гиперграфа, содержащего цикл

См. также

• Основные определения теории графов

Источники информации

• wikipedia.com — Гиперграфы
• sciencedirect.com — Ацикличность в гиперграфах