Разрез, лемма о потоке через разрез

Эта статья находится в разработке!

Определение разреза

Определение:

[math](s,t)[/math]-разрезом [math]\lt S,T\gt [/math] в сети [math]G[/math] называется пара множеств [math]S,T[/math], удоволетворяющих условиям: 1) [math]s\in S, t\in T[/math] 2) [math]S\cup T=V[/math] 3) [math]S\cap T=\emptyset[/math]

Поток через разрез

Определение:

Пропускная способность разреза [math]\lt S,T\gt [/math] обозначается [math]c(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]c(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)[/math].

Определение:

Поток в разрезе [math]\lt S,T\gt [/math] обозначается [math]f(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)[/math].

Лемма:

Пусть [math]\lt S,T\gt [/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)=|f|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

...

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (закон слабой двойственности потока и разреза):

Пусть [math]\lt S,T\gt [/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)\le c(S,T)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)= \sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\gt 0}[/math], из-за органичений пропускных способностей ([math]f(u,v)\le c(u,v)[/math]).

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Если [math]f(S,T)=c(S,T)[/math], то поток [math]f[/math] - максимален, а разрез [math]\lt S,T\gt [/math] - минимален.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

...

[math]\triangleleft[/math]