Дополняющая сеть, дополняющий путь — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Лемма о сложении потоков)
Строка 12: Строка 12:
 
|definition=
 
|definition=
 
Для заданных транспортной сети <tex>G=(V,E)</tex> и потока <tex>f</tex> <b>дополняющим путем</b> (augmenting path) <tex>p</tex> является простой путь из истока в сток в остаточной сети <tex>G_f=(V,E_f)</tex>.
 
Для заданных транспортной сети <tex>G=(V,E)</tex> и потока <tex>f</tex> <b>дополняющим путем</b> (augmenting path) <tex>p</tex> является простой путь из истока в сток в остаточной сети <tex>G_f=(V,E_f)</tex>.
−
}}
 
−
 
−
==Лемма о сложении потоков==
 
−
{{Лемма
 
−
|statement=
 
−
Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> - поток в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и величина этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
 
−
|proof=
 
−
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. <br>
 
−
1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex>, справедливо: <br> <br> <tex> (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u)  = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)</tex>.<br> <br>
 
−
2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что <tex>f'(u,v) \le c_f(u,v)</tex> для всех <tex>u,v \in V </tex> и <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>. Тогда <br> <br>
 
−
<tex>(f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) </tex>. <br> <br>
 
−
3) Заметим, что для всех <tex>u \in V - \{s,t\}</tex> справедливо равенство <br> <br>
 
−
<tex> \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0</tex> <br> <br>
 
−
<tex> |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|</tex>
 
−
 
−
 
 
}}
 
}}

Версия 19:32, 20 декабря 2010

Определение:
Остаточной пропускной способностью ребра [math](u, v)[/math] называется величина дополнительного потока, который мы можем направить из [math] u [/math] в [math] v [/math], не превысив пропускную способность [math] c(u, v) [/math]. Иными словами [math] c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) [/math].


Определение:
Для заданной транспортной сети [math]G=(V,E)[/math] и потока [math]f[/math], дополняющей сетью (residual network) в [math]G[/math], порожденной потоком [math]f[/math], является сеть [math]G_f=(V,E_f)[/math], где [math]E_f=\{(u,v) \in V\times V : c_f(u, v) \gt 0\}[/math]


Определение:
Для заданных транспортной сети [math]G=(V,E)[/math] и потока [math]f[/math] дополняющим путем (augmenting path) [math]p[/math] является простой путь из истока в сток в остаточной сети [math]G_f=(V,E_f)[/math].
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь&oldid=6067»